Упр.337 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что если две хорды $$AB$$ и $$AC$$ окружности равны, то ни одна из них не является диаметром этой окружности.
2. Внутри равнобедренного треугольника $$ABC$$ с основанием $$BC$$ взята такая точка $$M$$, что $$\angle MBC=30^\circ$$, $$\angle MCB=10^\circ$$. Найдите угол $$AMC$$, если $$\angle BAC=80^\circ$$.

Так как $$AB=AC,$$ то $$\triangle ABC$$ равнобедренный с основанием $$BC.$$ Следовательно, его углы при основании равны:

$$\angle ABC=\angle ACB=\frac{180^\circ-\angle BAC}{2}=\frac{180^\circ-80^\circ}{2}=50^\circ.$$

Рассмотрим треугольник $$BMC.$$ По условию

$$\angle MBC=30^\circ,\qquad \angle MCB=10^\circ.$$

Тогда

$$\angle BMC=180^\circ-30^\circ-10^\circ=140^\circ.$$

Луч $$CM$$ делит угол $$\angle ACB$$, поэтому

$$\angle ACM=\angle ACB-\angle MCB=50^\circ-10^\circ=40^\circ.$$

В треугольнике $$AMC$$ стороны $$AC$$ и $$AB$$ равны, а значит, $$AC=AB$$. Но из равнобедренности $$\triangle ABC$$ имеем $$AC=AB,$$ поэтому в треугольнике $$AMC$$ равны стороны $$AC$$ и $$CM$$, следовательно, он равнобедренный и

$$\angle CAM=\angle AMC.$$

Тогда

$$\angle CAM+\angle AMC=180^\circ-\angle ACM=180^\circ-40^\circ=140^\circ,$$

откуда

$$\angle AMC=\frac{140^\circ}{2}=70^\circ.$$

Ответ: $$70^\circ$$.