Упр.336 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Пусть AB-хорда окружности, не проходящая через ее центр, построим диаметр AC для этой окружности, тогда угол ABC=90°,отсюда треугольник ABC-прямоугольный, в котором AB является катетом, а AC-гипотенузой, тогда AB

а) Пусть в треугольнике $$ABC$$ точка $$M$$ — середина стороны $$BC$$, то есть $$AM$$ — медиана, и при этом $$AM>\frac12 BC$$.

Рассмотрим треугольники $$ABM$$ и $$AMC$$. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, значит:

$$\angle 1=\angle BAM>\angle ACM=\angle 2,$$

то есть $$\angle BAM>\angle MAC$$.

Аналогично из $$AM>\frac12 BC$$ следует, что сумма углов при вершинах $$B$$ и $$C$$ больше угла при вершине $$A$$, поэтому

$$\angle B+\angle C>\angle BAM+\angle MAC=\angle A.$$

Так как $$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ$$, получаем

$$180^\circ-\angle A>\angle A,$$

откуда

$$2\angle A<180^\circ,\qquad \angle A<90^\circ.$$

Следовательно, угол $$A$$ острый.

б) Если $$AM=\frac12 BC$$, то $$BM=MC=AM$$, значит, треугольники $$ABM$$ и $$AMC$$ равнобедренные. Тогда

$$\angle BAM=\angle ABM,\qquad \angle MAC=\angle ACM.$$

Из равенства $$BM=MC$$ следует, что углы при основании треугольника $$ABC$$ равны:

$$\angle B=\angle C.$$

Тогда

$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ,$$

$$\angle A+2\angle B=180^\circ.$$

Но из равенства медианы половине стороны следует, что $$\angle A=90^\circ$$.

в) Если $$AM<\frac12 BC$$, то рассуждаем так же, как в пункте а): меньшей медиане соответствует больший угол при вершине $$A$$. Поэтому

$$\angle A>90^\circ.$$

Ответ

Если $$AM>\frac12 BC$$, то $$\angle A<90^\circ$$; если $$AM=\frac12 BC$$, то $$\angle A=90^\circ$$; если $$AM<\frac12 BC$$, то $$\angle A>90^\circ$$.