Упр.329 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Постройте треугольник по стороне, высоте и медиане, проведённым к этой стороне. Докажите, что если угол, прилежащая к нему сторона и сумма двух других сторон одного треугольника соответственно равны углу, прилежащей к нему стороне и сумме двух других сторон другого треугольника, то такие треугольники равны.

Подробный ответ

Пусть дана сторона $$AB$$ и к ней проведены высота $$c$$ и медиана $$a$$. Построим треугольник $$ABC$$.

1) Отметим точку $$M$$ — середину отрезка $$AB$$.

2) В точке $$A$$ построим перпендикуляр к прямой $$AB$$ и отложим на нём отрезок $$AH_1=c$$.

3) Через точку $$H_1$$ проведём прямую $$q$$, перпендикулярную $$AH_1$$. Тогда $$q \parallel AB$$.

4) Построим окружность с центром в точке $$M$$ и радиусом $$a$$. Точку пересечения этой окружности с прямой $$q$$ обозначим через $$C$$.

5) Соединим точки $$C$$ и $$A$$, $$C$$ и $$B$$. Получим искомый треугольник $$ABC$$.

Проверим, что $$CM$$ — медиана. Так как $$M$$ — середина $$AB$$, то $$AM=MB$$. По построению $$C$$ лежит на окружности с центром $$M$$, значит $$MC=a$$. Следовательно, отрезок $$CM$$ проведён к середине стороны $$AB$$, то есть является медианой.

Кроме того, $$CH_1 \perp AH_1$$ и $$q \parallel AB$$, значит $$CH_1$$ — высота треугольника $$ABC$$, опущенная на сторону $$AB$$, а её длина равна $$c$$.

Построение возможно, так как точка $$C$$ определяется пересечением прямой $$q$$ и окружности с центром $$M$$ и радиусом $$a$$.

Докажем теперь утверждение о равенстве треугольников.

Пусть в треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ выполнено:

$$\angle A=\angle A_1,\quad AB=A_1B_1,\quad AC+BC=A_1C_1+B_1C_1.$$

Отложим на одной стороне угла $$A_1$$ отрезок $$A_1D=AC+BC$$. Построим точку $$C_1$$ на луче $$A_1C_1$$ так, чтобы $$A_1C_1=AC$$, а затем точку $$B_1$$ так, чтобы $$B_1C_1=BC$$. Тогда из равенства сумм получаем, что соответствующие стороны совпадают, и треугольник с данными элементами определяется однозначно.

Следовательно, треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ равны.