Упр.328 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Постройте треугольник по углу, высоте и биссектрисе, проведённым из вершины этого угла.
2. Точки $$C_1$$ и $$C_2$$ лежат по разные стороны от прямой $$AB$$ и расположены так, что $$AC_1=BC_2$$ и $$\angle BAC_1=\angle ABC_2$$. Докажите, что прямая $$C_1C_2$$ проходит через середину отрезка $$AB$$.

Рассмотрим треугольники $$\triangle AC_1O$$ и $$\triangle OBC_2$$.

Так как $$\angle BAC_1=\angle ABC_2,$$ а точки $$A,O,B$$ лежат на одной прямой, то

$$\angle C_1AO=\angle OBC_2.$$

Кроме того, прямые $$AC_1$$ и $$BC_2$$ пересекают прямую $$C_1C_2$$, поэтому

$$\angle AC_1O=\angle OC_2B$$

как накрест лежащие углы.

По условию $$AC_1=BC_2.$$ Следовательно, в треугольниках $$AC_1O$$ и $$OBC_2$$ равны две пары углов и заключённая между ними сторона:

$$\angle C_1AO=\angle OBC_2,\qquad AC_1=BC_2,\qquad \angle AC_1O=\angle OC_2B.$$

Значит, $$\triangle AC_1O \cong \triangle OBC_2$$ по стороне и двум прилежащим углам. Тогда соответствующие стороны равны:

$$AO=OB.$$

Следовательно, точка $$O$$ — середина отрезка $$AB$$, что и требовалось доказать.

Ответ

$$AO=OB,$$ значит, $$O$$ — середина отрезка $$AB$$.