Упр.327 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Дан равносторонний треугольник ABC и точка B1 на стороне АС. На сторонах ВС и АВ постройте точки А1 и C1 так, чтобы треугольник А1В1С1 был равносторонним. Даны шесть точек. Известно, что прямая, проходящая через любые две точки, содержит по крайней мере ещё одну из данных точек. Докажите, что все эти точки лежат на одной прямой.

Предположим противное: среди шести точек не все лежат на одной прямой.

Тогда можно выбрать три точки, лежащие на одной прямой, и ещё три точки, лежащие на другой прямой. Обозначим их так: $$O_1, O_2, O_3$$ лежат на прямой $$1$$, а $$O_4, O_5, O_6$$ — на прямой $$2$$.

Если взять две точки, принадлежащие разным прямым, то прямая, проходящая через них, не может содержать третью точку с прямой $$1$$ или $$2$$, иначе эти три точки оказались бы на одной прямой. Значит, такая прямая содержит только две из данных точек.

Но это противоречит условию: прямая, проходящая через любые две точки, должна содержать по крайней мере ещё одну из данных точек.

Следовательно, наше предположение неверно, и все шесть точек лежат на одной прямой.

Ответ

Все шесть точек лежат на одной прямой.