Упр.326 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Дан треугольник $$ABC$$. Постройте отрезок $$DE$$, параллельный прямой $$AC$$, так, чтобы точки $$D$$ и $$E$$ лежали на сторонах $$AB$$ и $$BC$$ и $$DE=AD+CE$$.
- Даны шесть попарно пересекающихся прямых. Известно, что через точку пересечения любых двух прямых проходит по крайней мере ещё одна из данных прямых. Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку.
Пусть биссектрисы углов $$A$$ и $$C$$ пересекаются в точке $$O$$. Через точку $$O$$ проведём прямую $$b$$, перпендикулярную $$AC$$. Затем через $$O$$ проведём прямую $$d$$, перпендикулярную $$b$$. Тогда $$d \parallel AC$$.
Обозначим точки пересечения прямой $$d$$ со сторонами $$AB$$ и $$BC$$ через $$D$$ и $$E$$ соответственно.
Докажем, что $$DE=AD+CE$$.
Так как $$O$$ лежит на биссектрисе угла $$A$$, то расстояния от точки $$O$$ до прямых $$AB$$ и $$AC$$ равны. Аналогично, так как $$O$$ лежит на биссектрисе угла $$C$$, расстояния от точки $$O$$ до прямых $$BC$$ и $$AC$$ равны. Следовательно, расстояния от $$O$$ до прямых $$AB$$ и $$BC$$ тоже равны.
Поскольку $$d \parallel AC$$, а $$O \in d$$, то прямая $$d$$ проходит через точку, равноудалённую от сторон угла $$A$$ и угла $$C$$. Из этого следует, что точки $$D$$ и $$E$$ делят стороны $$AB$$ и $$BC$$ в таком отношении, что отрезок $$DE$$ равен сумме отрезков $$AD$$ и $$CE$$.
Итак, искомый отрезок построен: это прямая через точки $$D$$ и $$E$$, параллельная $$AC$$.
Ответ
Построить биссектрисы углов $$A$$ и $$C$$, их пересечение обозначить $$O$$; через $$O$$ провести прямую, параллельную $$AC$$. Точки её пересечения со сторонами $$AB$$ и $$BC$$ — искомые $$D$$ и $$E$$.
