Упр.326 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Дан треугольник ABC. Постройте отрезок DE, параллельный прямой АС, так, чтобы точки D и Е лежали на сторонах АВ и ВС и DE = AD + СЕ. Даны шесть попарно пересекающихся прямых. Известно, что через точку пересечения любых двух прямых проходит по крайней мере ещё одна из данных прямых. Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку.

Подробный ответ

Рассмотрим три прямые, проходящие через одну точку, и обозначим их как $$1,2,3$$. Аналогично рассмотрим ещё три прямые $$4,5,6$$, проходящие через другую точку.

По условию через точку пересечения любых двух прямых проходит по крайней мере ещё одна из данных прямых. Значит, если две прямые пересекаются, то их точка пересечения должна принадлежать третьей прямой из набора.

Пусть прямые $$2$$ и $$3$$ пересекаются в точке $$O_1$$. Тогда через $$O_1$$ проходит и прямая $$1$$. Аналогично, пусть прямые $$4$$ и $$5$$ пересекаются в точке $$O_2$$, тогда через $$O_2$$ проходит и прямая $$6$$.

Рассмотрим теперь прямые $$1$$ и $$6$$. Они пересекаются в некоторой точке $$O_3$$. По условию через $$O_3$$ должна проходить ещё одна из данных прямых. Но среди оставшихся прямых это возможно только в том случае, если все шесть прямых проходят через одну и ту же точку.

Итак, все данные прямые имеют общую точку пересечения.