Упр.324 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный: а) $$30^\circ$$; б) $$60^\circ$$; в) $$15^\circ$$; г) $$120^\circ$$; д) $$150^\circ$$; е) $$135^\circ$$; ж) $$165^\circ$$; з) $$75^\circ$$; и) $$105^\circ$$.
2. Пусть $$\angle hk$$ — меньший из двух смежных углов $$\angle hk$$ и $$\angle hl$$. Докажите, что $$\angle hk=90^\circ-\frac{1}{2}(\angle hl-\angle hk)$$, $$\angle hl=90^\circ+\frac{1}{2}(\angle hl-\angle hk)$$.

Пусть сначала дан угол $$30^\circ$$. Построим его, а затем с помощью биссектрисы и смежных углов получим остальные.

1) Построим прямую и отметим на ней точку $$A$$. Восстановим в точке $$A$$ перпендикуляр к этой прямой.

2) На перпендикуляре отложим отрезок $$AB$$ и построим окружность с центром в $$B$$ и радиусом $$2BA$$.

3) Пусть точка пересечения окружности с прямой — это $$O$$. Тогда $$BA=\dfrac12\,OB$$, а значит, в прямоугольном треугольнике $$AOB$$

$$\angle O=30^\circ,\qquad \angle B=60^\circ.$$

Теперь можно построить требуемые углы:

1. $$30^\circ=\angle AOB$$.
2. $$60^\circ=\angle OBA$$.
3. $$15^\circ$$ — биссектриса угла $$30^\circ$$.
4. $$120^\circ=180^\circ-60^\circ$$ — смежный с углом $$60^\circ$$.
5. $$150^\circ=180^\circ-30^\circ$$ — смежный с углом $$30^\circ$$.
6. $$135^\circ=90^\circ+45^\circ$$ — биссектриса угла, смежного с прямым углом.
7. $$165^\circ=180^\circ-15^\circ$$ — смежный с углом $$15^\circ$$.
8. $$75^\circ=90^\circ-15^\circ$$ — разность прямого угла и $$15^\circ$$.
9. $$105^\circ=90^\circ+15^\circ$$ — сумма прямого угла и $$15^\circ$$.

Докажем формулы для смежных углов. Пусть $$\angle hk$$ и $$\angle hl$$ — смежные, причём $$\angle hk<\angle hl$$. Тогда

$$\angle hk+\angle hl=180^\circ.$$

Вычтем из этого равенства $$\angle hk$$:

$$2\angle hk=180^\circ-\angle hl+\angle hk,$$

откуда

$$\angle hk=90^\circ-\frac12(\angle hl-\angle hk).$$

Аналогично:

$$2\angle hl=180^\circ-\angle hk+\angle hl,$$

следовательно,

$$\angle hl=90^\circ+\frac12(\angle hl-\angle hk).$$

Что и требовалось доказать.