Упр.321 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Отрезок соединяет вершину треугольника с точкой, лежащей на противоположной стороне. Докажите, что этот отрезок меньше большей из двух других сторон.
- Дан треугольник $$ABC$$ с прямым углом $$A$$. На стороне $$AB$$ постройте точку $$M$$, находящуюся на расстоянии $$AM$$ от прямой $$BC$$.
Пусть $$\angle A=90^\circ$$. Требуется построить на стороне $$AB$$ точку $$M$$, равноудалённую от точек $$A$$ и прямой $$BC$$.
Построим решение.
- На стороне $$BC$$ отложим отрезок $$CH$$, равный стороне $$AC$$, то есть $$CH=AC$$.
- Соединим точки $$A$$ и $$H$$.
- Построим серединный перпендикуляр к отрезку $$AH$$.
- Точку пересечения серединного перпендикуляра со стороной $$AB$$ обозначим через $$M$$.
Докажем, что эта точка подходит.
Так как $$M$$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $$AH$$, то
$$MA=MH.$$
Кроме того, точки $$B, H, C$$ лежат на одной прямой, а $$CH=AC$$, значит треугольник $$ACH$$ равнобедренный. Поэтому
$$\angle CAH=\angle AHC.$$
Но $$\angle ACB=90^\circ-\angle BAC$$, а поскольку $$\angle A=90^\circ$$, то прямая $$AB$$ перпендикулярна $$AC$$. Следовательно, расстояние от точки $$M$$ до прямой $$BC$$ равно длине перпендикуляра, опущенного из $$M$$ на $$BC$$.
Из построения серединного перпендикуляра и равенства $$MA=MH$$ получаем, что точка $$M$$ равноудалена от $$A$$ и от прямой $$BC$$.
Значит, искомая точка построена.
