Упр.320 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В остроугольном треугольнике $$ABC$$ проведена высота $$AR$$. Докажите, что периметр треугольника $$ARC$$ меньше периметра треугольника $$ABC$$.
2. Постройте треугольник по стороне, высоте и медиане, проведённым к этой стороне.

Пусть $$AR$$ — высота треугольника $$ABC$$, то есть $$AR \perp BC$$.

Докажем, что точка $$R$$ лежит на отрезке $$BC$$. Предположим противное: $$R$$ не принадлежит отрезку $$BC$$. Тогда луч $$RA$$ образует с прямой $$BC$$ угол, а в треугольнике $$ABR$$ имеем

$$\angle ABC=\angle BAR+\angle BRA=\angle BAR+90^\circ>90^\circ.$$

Но треугольник $$ABC$$ остроугольный, значит, $$\angle ABC<90^\circ$$. Получили противоречие. Следовательно, $$R \in BC$$.

Тогда $$RC<BC$$, а также $$AR<AB$$, поскольку $$AR$$ — высота, а в прямоугольном треугольнике $$ABR$$ гипотенуза $$AB$$ больше катета $$AR$$.

Теперь сравним периметры:

$$P_{ARC}=AR+RC+AC,$$

$$P_{ABC}=AB+BC+AC.$$

Так как $$AR<AB$$ и $$RC<BC$$, то

$$AR+RC<AB+BC,$$

а значит,

$$P_{ARC}<P_{ABC}.$$

Что и требовалось доказать.