Упр.319 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что в равных треугольниках высоты, проведённые к равным сторонам, равны.
- Постройте треугольник по углу, высоте и биссектрисе, проведённым из вершины этого угла.
Пусть дан угол $$\angle A$$, его биссектриса $$a$$ и высота $$b$$. Нужно построить треугольник $$ABC$$.
- Построим биссектрису угла $$A$$ и отложим на ней отрезок $$AA_1=b$$.
- Отметим середину отрезка $$AA_1$$ — точку $$O$$.
- Построим окружности с центрами $$A$$ и $$O$$ радиусами $$b$$ и $$OA$$. Их пересечение обозначим через $$H$$.
- Проведём прямую $$HA_1$$. Точки её пересечения со сторонами угла $$A$$ обозначим через $$B$$ и $$C$$.
Докажем, что построенный треугольник подходит.
Так как $$O$$ — середина отрезка $$AA_1$$, то $$OA=OA_1$$. Кроме того, по построению $$AH=b$$ и $$OA=b$$, значит $$AH=OA$$. Следовательно, точка $$H$$ равноудалена от точек $$A$$ и $$O$$, а прямая $$HH$$? нет, точнее прямая $$HA_1$$ построена так, что $$H$$ лежит на окружности с центром $$A$$ радиуса $$b$$, поэтому $$AH=b$$.
Рассмотрим треугольники $$\triangle AOH$$ и $$\triangle A_1OH$$. У них
$$AO=OA_1,\quad OH=OH,\quad AH=A_1H$$
по построению, значит эти треугольники равны. Отсюда $$\angle OAH=\angle HA_1O$$.
Так как точки $$A, O, A_1$$ лежат на биссектрисе угла $$A$$, то прямая $$AA_1$$ является осью симметрии для построения, а прямая $$HA_1$$ пересекает стороны угла в точках $$B$$ и $$C$$. Следовательно, получаем треугольник $$ABC$$ с заданными углом, биссектрисой и высотой.
Построение выполнено.
