Упр.319 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Докажите, что в равных треугольниках высоты, проведённые к равным сторонам, равны. Постройте треугольник по углу, высоте и биссектрисе, проведённым из вершины этого угла.

Подробный ответ

Пусть $$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$$, а $$BH$$ и $$B_1H_1$$ — высоты, проведённые к равным сторонам $$AC$$ и $$A_1C_1$$.

Так как треугольники равны, то соответствующие углы равны, значит $$\angle A = \angle A_1$$. Кроме того, из равенства треугольников следует $$AB = A_1B_1$$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle ABH$$ и $$\triangle A_1B_1H_1$$. У них:

$$\angle AHB = \angle A_1H_1B_1 = 90^\circ$$,
$$AB = A_1B_1$$,
$$\angle BAH = \angle B_1A_1H_1$$, так как $$\angle A = \angle A_1$$.

Следовательно, $$\triangle ABH \cong \triangle A_1B_1H_1$$ по гипотенузе и острому углу. Тогда соответствующие высоты равны:

$$BH = B_1H_1.$$

Это и требовалось доказать.

Теперь построим треугольник по углу, высоте и биссектрисе, проведённым из вершины этого угла.

Пусть даны угол $$\angle A$$, его биссектриса $$a$$ и высота $$b$$.

Построим биссектрису угла $$A$$ и отложим на ней отрезок $$AA_1 = a$$.
Отметим середину отрезка $$AA_1$$ — точку $$O$$.
Построим окружности с центрами $$A$$ и $$O$$ радиусами $$b$$ и $$OA$$. Их пересечение обозначим через $$H$$.
Проведём прямую $$HA_1$$. Точки её пересечения со сторонами угла $$A$$ обозначим через $$B$$ и $$C$$.

Тогда искомый треугольник $$ABC$$ построен.