Упр.318 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- В треугольнике с неравными сторонами $$AB$$ и $$AC$$ проведены высота $$AH$$ и биссектриса $$AD$$. Докажите, что угол $$HAD$$ равен полуразности углов $$B$$ и $$C$$.
- Дан равносторонний треугольник $$ABC$$ и точка $$B_1$$ на стороне $$AC$$. На сторонах $$BC$$ и $$AB$$ постройте точки $$A_1$$ и $$C_1$$ так, чтобы треугольник $$A_1B_1C_1$$ был равносторонним.
Пусть $$\angle B=\beta,$$ $$\angle C=\gamma.$$ Тогда в треугольнике $$ABC$$
$$\angle A=180^\circ-\beta-\gamma.$$
Так как $$AD$$ — биссектриса, то
$$\angle BAD=\angle DAC=\frac{\angle A}{2}.$$
Поскольку $$AH$$ — высота, то $$AH\perp BC,$$ значит треугольник $$AHD$$ прямоугольный и
$$\angle HAD=90^\circ-\angle HDA.$$
Рассмотрим угол $$\angle HDA.$$ Точка $$D$$ лежит на биссектрисе $$AD,$$ поэтому
$$\angle HDA=\angle C+\angle CAD.$$
Но $$\angle CAD=\angle BAD,$$ следовательно
$$\angle HDA=\gamma+\angle BAD.$$
Тогда
$$\angle HAD=90^\circ-\gamma-\angle BAD.$$
Подставим $$\angle BAD=\dfrac{180^\circ-\beta-\gamma}{2}:$$
$$\angle HAD=90^\circ-\gamma-\frac{180^\circ-\beta-\gamma}{2} =\frac{\beta-\gamma}{2}.$$
Значит,
$$\angle HAD=\frac{\angle B-\angle C}{2}.$$
Ответ
$$\angle HAD=\frac{\angle B-\angle C}{2}.$$
