Упр.317 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ с основанием $$AC$$, равным $$37\ \text{см}$$, внешний угол при вершине $$B$$ равен $$60^\circ$$. Найдите расстояние от вершины $$C$$ до прямой $$AB$$.
2. Дан треугольник $$ABC$$. Постройте отрезок $$DE$$, параллельный прямой $$AC$$, так, чтобы точки $$D$$ и $$E$$ лежали на сторонах $$AB$$ и $$BC$$ и $$DE=AD+CE$$.

1) Найдём расстояние от точки $$C$$ до прямой $$AB$$.

Треугольник $$ABC$$ равнобедренный, значит $$AB=BC$$ и углы при основании равны: $$\angle A=\angle C.$$

Внешний угол при вершине $$B$$ равен $$60^\circ$$, поэтому внутренний угол треугольника при вершине $$B$$ равен

$$\angle ABC=180^\circ-60^\circ=120^\circ.$$

Тогда

$$\angle A=\angle C=\frac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ.$$

Опустим из точки $$C$$ перпендикуляр $$CH$$ на прямую $$AB$$. Тогда треугольник $$ACH$$ прямоугольный, а в нём $$\angle CAH=\angle A=30^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике с углом $$30^\circ$$ противолежащий катет равен половине гипотенузы, значит

$$CH=\frac{AC}{2}=\frac{37}{2}=18{,}5\text{ см}.$$

Ответ

$$18{,}5\text{ см}$$

Построение отрезка $$DE$$

Пусть требуется построить $$DE \parallel AC$$ так, чтобы точки $$D$$ и $$E$$ лежали на сторонах $$AB$$ и $$BC$$ и выполнялось $$DE=AD+CE.$$

1. Построим биссектрисы углов $$A$$ и $$C$$. Их пересечение обозначим через $$O$$.
2. Через точку $$O$$ проведём прямую $$b \perp AC$$.
3. Через точку $$O$$ проведём прямую $$d \perp b$$. Тогда $$d \parallel AC.$$
4. Точки пересечения прямой $$d$$ со сторонами $$AB$$ и $$BC$$ обозначим соответственно $$D$$ и $$E$$.

Полученный отрезок $$DE$$ и будет искомым.