Упр.316 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- В прямоугольном треугольнике проведена высота из вершины прямого угла. Докажите, что данный треугольник и два образовавшихся треугольника имеют соответственно равные углы.
- Постройте треугольник по стороне, высоте, проведённой к ней, и медиане, проведённой к одной из двух других сторон.
Пусть дана сторона $$AB=c$$, высота к ней $$CD=a$$ и медиана $$BM=b$$, проведённая к стороне $$AC$$.
Построение выполним так:
- Проведём две параллельные прямые на расстоянии $$a$$.
- На одной из них отложим отрезок $$AB=c$$.
- Построим окружность с центром в точке $$A$$ и радиусом $$2b$$. Точку пересечения этой окружности со второй параллельной прямой обозначим через $$D$$.
- Отметим точку $$M$$ — середину отрезка $$AB$$.
- Проведём луч $$DM$$. Точку его пересечения с первой параллельной прямой обозначим через $$C$$.
Докажем, что построенный треугольник $$ABC$$ удовлетворяет условию.
Так как $$CD$$ — высота, то $$CD \perp AB$$ и $$CD=a$$. Следовательно, точка $$C$$ лежит на прямой, параллельной $$AB$$, на расстоянии $$a$$ от неё.
Поскольку $$D$$ лежит на окружности с центром в $$A$$ и радиусом $$2b$$, то $$AD=2b$$. А так как $$M$$ — середина $$AB$$, то $$AM=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{c}{2}$$.
Из построения луча $$DM$$ и выбора точки $$C$$ получаем, что точка $$M$$ лежит на медиане, проведённой к стороне $$AC$$, а значит, $$M$$ — середина $$AC$$. Тогда $$BM$$ действительно является медианой треугольника $$ABC$$.
Таким образом, построен треугольник $$ABC$$ со стороной $$AB=c$$, высотой $$CD=a$$ и медианой $$BM=b$$.
Ответ: треугольник построен по стороне, высоте и медиане.
