Упр.313 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри треугольника, до его вершин меньше периметра треугольника.
2. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей стороне.

Пусть $$M$$ — любая точка, лежащая внутри треугольника $$ABC$$. Тогда отрезки $$AM$$, $$BM$$ и $$CM$$ являются сторонами треугольников $$ABM$$, $$BCM$$ и $$ACM$$.

По неравенству треугольника имеем:

$$AM+BM<AB,$$

$$BM+CM<BC,$$

$$AM+CM<AC.$$

Сложим эти три неравенства:

$$(AM+BM)+(BM+CM)+(AM+CM)<AB+BC+AC.$$

Получаем:

$$2(AM+BM+CM)<AB+BC+AC.$$

Делим обе части на $$2$$:

$$AM+BM+CM<\frac{AB+BC+AC}{2}.$$

Так как $$P_{ABC}=AB+BC+AC$$, то

$$AM+BM+CM<P_{ABC}.$$

Что и требовалось доказать.