Упр.313 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Докажите, что сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри треугольника, до его вершин меньше периметра треугольника. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей стороне.

Подробный ответ

Пусть $$M$$ — любая точка, лежащая внутри треугольника $$ABC$$. Тогда отрезки $$AM$$, $$BM$$ и $$CM$$ являются сторонами треугольников $$ABM$$, $$BCM$$ и $$ACM$$.

По неравенству треугольника имеем:

$$AM+BM<AB+BC,$$

$$BM+CM<BC+AC,$$

$$AM+CM<AB+AC.$$

Сложим эти три неравенства:

$$2(AM+BM+CM)<2(AB+BC+AC).$$

Разделим обе части на $$2$$:

$$AM+BM+CM<AB+BC+AC=P_{ABC}.$$

Значит, сумма расстояний от любой точки внутри треугольника до его вершин меньше периметра треугольника.

Построим треугольник $$ABC$$ по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей стороне.

Пусть даны $$b=AB$$, $$c=BC$$ и медиана $$a$$ к стороне $$AC$$.

1) Построим прямую и отметим на ней точку $$A$$.

2) Отложим отрезок $$AD=c$$.

3) Построим окружности с центрами $$A$$ и $$D$$ радиусов $$b$$ и $$2a$$ соответственно. Их пересечение обозначим буквой $$B$$.

4) На середине отрезка $$BD$$ отметим точку $$B_1$$.

5) Проведём луч $$AB_1$$ и отложим на нём отрезок $$B_1C=AB_1$$.

Тогда точка $$C$$ лежит на прямой $$AB_1$$, а $$B_1$$ — середина отрезка $$AC$$. Следовательно, $$BB_1$$ — медиана треугольника $$ABC$$, то есть построение выполнено.