Упр.309 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Из точки А к прямой а проведены перпендикуляр АН и наклонные АМ1 и АМ2. Докажите, что: а) если НМ1= НМ2, то АМ1 = АМ2; б) если НМ1< НМ2, то АМ1< АМ2. В треугольнике с неравными сторонами АВ и АС проведены высота АН и биссектриса AD. Докажите, что угол HAD равен полуразности углов В и С.

а) Рассмотрим треугольники $$\triangle AHM_1$$ и $$\triangle AHM_2$$. Они прямоугольные, так как $$AH \perp a$$, значит $$\angle AHM_1=\angle AHM_2=90^\circ$$.

Кроме того, $$AH$$ — общий катет, а по условию $$HM_1=HM_2$$. Следовательно, $$\triangle AHM_1 \cong \triangle AHM_2$$ по двум катетам. Тогда соответствующие гипотенузы равны:

$$AM_1=AM_2.$$

б) Рассмотрим те же треугольники $$\triangle AHM_1$$ и $$\triangle AHM_2$$. Они прямоугольные, причём $$AH$$ — общий катет, а $$HM_1<HM_2$$.

В прямоугольном треугольнике большая сторона лежит против большего угла, поэтому из $$HM_1<HM_2$$ следует, что

$$AM_1<AM_2.$$

Итак, если расстояние от точки $$H$$ до точки $$M_1$$ меньше, чем до точки $$M_2$$, то и наклонная $$AM_1$$ меньше наклонной $$AM_2$$.

В треугольнике $$ABC$$ пусть $$AH$$ — высота, а $$AD$$ — биссектриса. Тогда

$$\angle BAD=\angle DAC.$$

Обозначим $$\angle B=\angle ABC$$, $$\angle C=\angle ACB$$. В прямоугольном треугольнике $$AHD$$ имеем:

$$\angle HAD=90^\circ-\angle HDA.$$

Так как точки $$B, H, D, C$$ лежат на одной прямой, то $$\angle HDA$$ — внешний угол треугольника $$ADC$$, значит

$$\angle HDA=\angle C+\angle CAD.$$

Но $$\angle CAD=\angle BAD$$, поэтому

$$\angle HDA=\angle C+\angle BAD.$$

Тогда

$$\angle HAD=90^\circ-\angle C-\angle BAD.$$

С другой стороны, в треугольнике $$ABC$$

$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ,$$

а так как $$\angle BAD=\dfrac{\angle A}{2},$$ то

$$2\angle HAD=180^\circ-2\angle C-2\angle BAD.$$

Подставим $$2\angle BAD=\angle A$$:

$$2\angle HAD=180^\circ-\angle A-2\angle C.$$

Из суммы углов треугольника получаем $$180^\circ-\angle A=\angle B+\angle C$$, значит

$$2\angle HAD=\angle B-\angle C.$$

Следовательно,

$$\angle HAD=\frac{\angle B-\angle C}{2}.$$

Ответ

а) $$AM_1=AM_2$$; б) $$AM_1<AM_2$$; $$\angle HAD=\dfrac{\angle B-\angle C}{2}$$.