Упр.309 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Из точки $$A$$ к прямой $$a$$ проведены перпендикуляр $$AH$$ и наклонные $$AM_1$$ и $$AM_2$$. Докажите, что:
а) если $$HM_1=HM_2$$, то $$AM_1=AM_2$$;
б) если $$HM_1<HM_2$$, то $$AM_1<AM_2$$.
В треугольнике с неравными сторонами $$AB$$ и $$AC$$ проведены высота $$AH$$ и биссектриса $$AD$$. Докажите, что угол $$HAD$$ равен полуразности углов $$B$$ и $$C$$.

Подробный ответ

а) Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle AM_1H$$ и $$\triangle AM_2H$$.

У них:

$$AH$$ — общий катет;
$$\angle AHM_1=\angle AHM_2=90^\circ$$, так как $$AH\perp a$$;
$$HM_1=HM_2$$ по условию.

Следовательно, $$\triangle AM_1H \cong \triangle AM_2H$$ по двум катетам. Тогда соответствующие гипотенузы равны:

$$AM_1=AM_2.$$

б) Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle AM_1H$$ и $$\triangle AM_2H$$.

Так как $$AH\perp a$$, то углы $$\angle AM_1H$$ и $$\angle AM_2H$$ острые. При этом из условия $$HM_1<HM_2$$ следует, что в прямоугольных треугольниках при одинаковом катете $$AH$$ большему катету $$HM_2$$ соответствует большая гипотенуза. Значит,

$$AM_1<AM_2.$$

Это и требовалось доказать.