Упр.308 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что в тупоугольном треугольнике основание высоты, проведённой из вершины тупого угла, лежит на стороне треугольника, а основания высот, проведённых из вершин острых углов, — на продолжениях сторон.
В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ с основанием $$AC$$, равным $$37\ \text{см}$$, внешний угол при вершине $$B$$ равен $$60^\circ$$. Найдите расстояние от вершины $$C$$ до прямой $$AB$$.

Подробный ответ

Решение

Рассмотрим равнобедренный треугольник $$ABC$$ с основанием $$AC$$. Тогда $$AB=BC$$, а значит, углы при основании равны:

$$\angle A=\angle C.$$

Внешний угол при вершине $$B$$ равен $$60^\circ$$, поэтому внутренний угол треугольника при вершине $$B$$ равен

$$\angle ABC=180^\circ-60^\circ=120^\circ.$$

Тогда

$$\angle A=\angle C=\frac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ.$$

Пусть $$CH$$ — расстояние от точки $$C$$ до прямой $$AB$$, то есть $$CH\perp AB$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ACH$$. В нём $$\angle A=30^\circ$$, значит, катет, лежащий против угла $$30^\circ$$, равен половине гипотенузы:

$$CH=\frac{AC}{2}=\frac{37}{2}=18{,}5\text{ см}.$$