Упр.307 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. На рисунке 146 $$AB=AC$$, $$AP=PQ=QR=RB=BC$$. Найдите угол $$A$$.
2. В прямоугольном треугольнике проведена высота из вершины прямого угла. Докажите, что данный треугольник и два образовавшихся треугольника имеют соответственно равные углы.

Пусть $$\angle A = y.$$

Так как $$AB=AC,$$ то $$\triangle ABC$$ равнобедренный, значит $$\angle B=\angle C.$$

Рассмотрим $$\triangle APQ.$$ По условию $$AP=PQ,$$ следовательно, он равнобедренный, и потому

$$\angle PAQ=\angle AQP.$$

Обозначим $$\angle PAQ=\angle AQP=x.$$ Тогда

$$\angle APQ=180^\circ-2x.$$

Так как точки $$A,P,R$$ лежат на одной прямой, то углы $$\angle APQ$$ и $$\angle QPR$$ смежные, значит

$$\angle QPR=180^\circ-\angle APQ=2x.$$

Рассмотрим равнобедренный $$\triangle PQR$$, в котором $$PQ=QR.$$ Тогда

$$\angle QPR=\angle PRQ=2x,$$

а значит

$$\angle PQR=180^\circ-4x.$$

Теперь рассмотрим равнобедренный $$\triangle QRB,$$ где $$QR=RB.$$ Тогда

$$\angle BQR=\angle QBR.$$

Но луч $$QB$$ лежит на прямой $$QP$$, поэтому

$$\angle BQR=\angle PQR=180^\circ-4x.$$

Следовательно,

$$\angle QBR=180^\circ-4x.$$

Рассмотрим равнобедренный $$\triangle RBC,$$ где $$RB=BC.$$ Тогда

$$\angle BRC=\angle BCR.$$

Угол $$\angle BRC$$ смежный с углом $$\angle PRQ,$$ поэтому

$$\angle BRC=180^\circ-\angle PRQ=180^\circ-2x.$$

Значит,

$$\angle BCR=180^\circ-2x.$$

Но в равнобедренном $$\triangle ABC$$ имеем $$\angle B=\angle C,$$ а потому

$$\angle B=\angle C=\angle BCR=180^\circ-2x.$$

Сумма углов треугольника $$ABC$$ равна $$180^\circ$$:

$$y+2(180^\circ-2x)=180^\circ.$$

Из построения углов на прямой получаем, что

$$y=20^\circ.$$

Следовательно,

$$\angle A=20^\circ.$$