Упр.305 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. На стороне $$AD$$ треугольника $$ADC$$ отмечена точка $$B$$ так, что $$BC = BD$$. Докажите, что прямая $$DC$$ параллельна биссектрисе угла $$ABC$$.
2. Докажите, что сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри треугольника, до его вершин меньше периметра треугольника.

Обозначим через $$BF$$ биссектрису угла $$\angle ABC$$. Нужно доказать, что $$BF \parallel DC$$.

Так как $$BC = BD$$, то треугольник $$BDC$$ равнобедренный, значит его углы при основании равны:

$$\angle BDC = \angle DCB.$$

Угол $$\angle ABC$$ является внешним углом треугольника $$BDC$$, поэтому

$$\angle ABC = \angle BDC + \angle DCB.$$

С учётом равенства $$\angle BDC = \angle DCB$$ получаем:

$$\angle ABC = 2\angle DCB.$$

Так как $$BF$$ — биссектриса угла $$ABC$$, то

$$\angle ABF = \angle CBF = \frac{1}{2}\angle ABC.$$

Следовательно,

$$\angle ABF = \angle DCB.$$

При этом точки $$B, D, A$$ лежат на одной прямой, значит прямые $$BD$$ и $$BA$$ совпадают. Углы $$\angle ABF$$ и $$\angle DCB$$ — соответственные при секущей $$BC$$, поэтому

$$BF \parallel DC.$$

Ответ

$$BF \parallel DC.$$