Упр.304 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: В равнобедренном треугольнике ABC биссектрисы равных углов В и С пересекаются в точке О. Докажите, что угол ВОС равен внешнему углу треугольника при вершине В. Докажите, что если точка М лежит внутри треугольника ABC, то МВ + МС<АВ + АС.

Подробный ответ

1) Так как треугольник $$ABC$$ равнобедренный, то $$\angle B=\angle C$$.

Пусть $$BF$$ и $$CE$$ — биссектрисы углов $$B$$ и $$C$$ соответственно, а $$BF\cap CE=O$$.

Тогда

$$\angle ABF=\angle FBC,\qquad \angle ACE=\angle ECB.$$

Но $$\angle B=\angle C$$, значит

$$\angle ABF=\angle FBC=\angle ACE=\angle ECB.$$

Рассмотрим треугольник $$BOC$$. В нём

$$\angle OBC=\angle OCB,$$

следовательно, $$\triangle BOC$$ равнобедренный, и

$$\angle BOC=180^\circ-2\angle OBC.$$

Так как $$\angle OBC=\dfrac{\angle B}{2}$$, то

$$\angle BOC=180^\circ-\angle B.$$

А внешний угол треугольника при вершине $$B$$ равен

$$180^\circ-\angle B.$$

Значит, $$\angle BOC$$ равен внешнему углу треугольника при вершине $$B$$.

2) Пусть $$M$$ — точка внутри треугольника $$ABC$$. Проведём отрезок $$MD$$ так, чтобы точка $$D$$ лежала на стороне $$AC$$, а точки $$B, M, D$$ были коллинеарны.

В треугольнике $$MDC$$ по неравенству треугольника имеем

$$MC<MD+DC.$$

В треугольнике $$ADB$$ также по неравенству треугольника

$$BD<AB+AD.$$

Так как $$B, M, D$$ лежат на одной прямой, то

$$BD=BM+MD.$$

Следовательно,

$$BM+MD<AB+AD.$$

Складывая полученные неравенства, получаем

$$MC+BM+MD<MC+AB+AD.$$

Но $$AD+DC=AC$$, значит

$$BM+MC<AB+AC.$$