Упр.303 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к одной из этих сторон.
2. Докажите, что в треугольнике $$ABC$$ медиана $$AM$$ меньше полусуммы сторон $$AB$$ и $$AC$$.

Продолжим медиану $$AM$$ за точку $$M$$ и отложим на продолжении отрезок $$MD=AM$$.

Тогда точки $$A, M, D$$ лежат на одной прямой, причём $$AM=MD$$. Кроме того, так как $$M$$ — середина стороны $$BC$$, то $$BM=MC$$.

Рассмотрим треугольники $$AMC$$ и $$BMD$$. У них

$$AM=MD,$$

$$MC=MB,$$

$$\angle AMC=\angle BMD$$

как вертикальные. Следовательно, $$\triangle AMC \cong \triangle BMD$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда

$$AC=BD.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ABD$$. По неравенству треугольника

$$AD<AB+BD.$$

Так как $$AD=AM+MD=2AM$$ и $$BD=AC$$, получаем

$$2AM<AB+AC.$$

Делим обе части на $$2$$:

$$AM<\frac{AB+AC}{2}.$$

Ответ: $$AM<\dfrac{AB+AC}{2}$$.