Упр.302 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, проведённой к одной из этих сторон.
2. Из точки $$A$$ к прямой $$a$$ проведены перпендикуляр $$AH$$ и наклонные $$AM_1$$ и $$AM_2$$. Докажите, что:
   а) если $$AM_1=AM_2$$, то $$HM_1=HM_2$$;
   б) если $$AM_1

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle AHM_1$$ и $$\triangle AHM_2$$. В них $$AH \perp a$$, значит $$\angle AHM_1=\angle AHM_2=90^\circ$$, а сторона $$AH$$ — общая.

а) Если $$AM_1=AM_2$$, то прямоугольные треугольники $$\triangle AHM_1$$ и $$\triangle AHM_2$$ равны по гипотенузе и катету: $$AH$$ — общий катет, $$AM_1=AM_2$$ — гипотенузы. Тогда соответствующие катеты равны, значит

$$HM_1=HM_2.$$

б) Если $$AM_1<AM_2$$, то по теореме Пифагора:

$$HM_1=\sqrt{AM_1^2-AH^2},$$
$$HM_2=\sqrt{AM_2^2-AH^2}.$$

Так как $$AM_1<AM_2$$, то $$AM_1^2<AM_2^2$$, следовательно,

$$AM_1^2-AH^2<AM_2^2-AH^2,$$

а значит, после извлечения корня получаем

$$HM_1<HM_2.$$

Ответ

а) $$HM_1=HM_2$$; б) $$HM_1<HM_2$$.