Упр.300 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Даны отрезки P1Q1, P2Q2 и P3Q3 Постройте треугольник ABC так, чтобы: а) AB =P1Q1, BC=P2Q2, CA = 2P3Q3, б) AB = 2P1Ql, BC = P2Q2, CA = 3/2P3Q3. Всегда ли задача имеет решение? Докажите, что в тупоугольном треугольнике основание высоты, проведённой из вершины тупого угла, лежит на стороне треугольника, а основания высот, проведённых из вершин острых углов, — на продолжениях сторон.

а) Построим сначала отрезок $$BC=P_2Q_2.$$

Затем с центром в точке $$B$$ проведём окружность радиуса $$P_1Q_1,$$ а с центром в точке $$C$$ — окружность радиуса $$2P_3Q_3.$$ Точка их пересечения обозначим через $$A.$$ Тогда по построению

$$AB=P_1Q_1,\quad BC=P_2Q_2,\quad CA=2P_3Q_3.$$

Соединив точки $$A, B, C,$$ получим искомый треугольник.

Аналогично для пункта б): строим отрезок $$BC=P_2Q_2,$$ затем окружность с центром в $$B$$ радиуса $$2P_1Q_1$$ и окружность с центром в $$C$$ радиуса $$\frac{3}{2}P_3Q_3.$$ Их точка пересечения и есть вершина $$A.$$ Тогда

$$AB=2P_1Q_1,\quad BC=P_2Q_2,\quad CA=\frac{3}{2}P_3Q_3.$$

Задача имеет решение не всегда. Оно существует тогда и только тогда, когда длины сторон удовлетворяют неравенствам треугольника: каждая сторона меньше суммы двух других.

Если хотя бы одно из неравенств нарушается, например

$$AB+BC\le CA,$$

или аналогично для других пар сторон, то треугольник построить нельзя.

Докажем утверждение о высотах. Пусть $$\triangle ABC$$ тупоугольный, и $$\angle C>90^\circ.$$ Проведём высоту $$CD\perp AB,$$ где $$D$$ — основание высоты.

Предположим, что точка $$D$$ лежит на отрезке $$AC.$$ Тогда в треугольнике $$BDC$$ угол $$BDC=90^\circ,$$ а так как $$\angle C>90^\circ,$$ то сумма углов $$\angle BDC+\angle BCD>180^\circ,$$ что невозможно. Значит, точка $$D$$ не может лежать на отрезке $$AC.$$

Следовательно, основание высоты из тупого угла лежит на стороне треугольника, а основания высот, проведённых из острых углов, лежат на продолжениях соответствующих сторон.

Ответ

а) и б) треугольник строится как пересечение двух окружностей с указанными радиусами и центрами в концах отрезка $$BC.$$ Задача имеет решение не всегда: необходимо выполнение неравенств треугольника. В тупоугольном треугольнике основание высоты из тупого угла лежит на стороне, а основания высот из острых углов — на продолжениях сторон.