Упр.300 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Даны отрезки $$P_1Q_1$$, $$P_2Q_2$$ и $$P_3Q_3$$. Постройте треугольник $$ABC$$ так, чтобы:
а) $$AB=P_1Q_1$$, $$BC=P_2Q_2$$, $$CA=2P_3Q_3$$;
б) $$AB=2P_1Q_1$$, $$BC=P_2Q_2$$, $$CA=\frac{3}{2}P_3Q_3$$.
Всегда ли задача имеет решение? - Докажите, что в тупоугольном треугольнике основание высоты, проведённой из вершины тупого угла, лежит на стороне треугольника, а основания высот, проведённых из вершин острых углов, — на продолжениях сторон.
а) Построим отрезок $$BC=P_2Q_2.$$
На луче с началом в точке $$B$$ отложим отрезок $$BA=P_1Q_1,$$ а на луче с началом в точке $$C$$ — отрезок $$CA=2P_3Q_3.$$ Для этого достаточно построить окружность с центром в $$B$$ радиуса $$P_1Q_1$$ и окружность с центром в $$C$$ радиуса $$2P_3Q_3.$$ Их точка пересечения и будет точкой $$A.$$ Соединим $$A$$ с $$B$$ и $$C.$$
Такой треугольник существует, если выполняется неравенство треугольника:
$$P_1Q_1+2P_3Q_3>P_2Q_2,$$
$$P_1Q_1+P_2Q_2>2P_3Q_3,$$
$$P_2Q_2+2P_3Q_3>P_1Q_1.$$
б) Аналогично строим $$BC=P_2Q_2,$$ затем окружность с центром в $$B$$ радиуса $$2P_1Q_1$$ и окружность с центром в $$C$$ радиуса $$\frac{3}{2}P_3Q_3.$$ Их пересечение даёт точку $$A.$$
Здесь решение существует тогда и только тогда, когда выполняются неравенства треугольника:
$$2P_1Q_1+P_2Q_2>\frac{3}{2}P_3Q_3,$$
$$2P_1Q_1+\frac{3}{2}P_3Q_3>P_2Q_2,$$
$$P_2Q_2+\frac{3}{2}P_3Q_3>2P_1Q_1.$$
Следовательно, задача не всегда имеет решение: оно существует только тогда, когда заданные длины могут быть сторонами треугольника.
Ответ: не всегда; решение существует лишь при выполнении неравенств треугольника для соответствующих трёх длин.
