Упр.299 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Постройте равнобедренный треугольник:
   а) по боковой стороне и углу, противолежащему основанию;
   б) по основанию и углу при основании;
   в) по боковой стороне и углу при основании;
   г) по основанию и боковой стороне;
   д) по основанию и медиане, проведённой к основанию.
2. На рисунке 146 $$AB=AC$$, $$AP=PQ=QR=RB=BC$$. Найдите угол $$A$$.

а) Отложим на сторонах данного угла от его вершины равные отрезки $$AB$$ и $$AC$$. Соединим точки $$B$$ и $$C$$. Тогда $$\triangle ABC$$ — искомый равнобедренный треугольник, так как $$AB=AC$$.

б) Построим отрезок $$AC$$, равный данному основанию. Восстановим к нему серединный перпендикуляр. На одной из его сторон отложим угол, равный данному углу при основании, и его вторую сторону проведём через точку $$C$$. Точка пересечения этой стороны с серединным перпендикуляром — вершина искомого треугольника.

в) Отложим на одной стороне данного угла от его вершины отрезок $$AC$$, равный данной боковой стороне. Через точку $$A$$ проведём прямую, перпендикулярную второй стороне угла, и на ней отложим отрезок $$AB=AC$$. Соединим точки $$B$$ и $$C$$. Получим искомый равнобедренный треугольник.

г) Построим отрезок $$AB$$, равный данному основанию. Найдём его середину $$H$$ и восстановим в точке $$H$$ перпендикуляр к $$AB$$. На этом перпендикуляре отложим отрезок $$CH$$, равный данной боковой стороне. Соединим точки $$C$$ с $$A$$ и $$B$$. Тогда $$\triangle ABC$$ — искомый.

д) Построим отрезок $$AB$$, равный данному основанию. Найдём его середину $$H$$. Через точку $$H$$ проведём перпендикуляр к $$AB$$ и на нём отложим отрезок $$CH$$, равный данной медиане. Соединим точки $$C$$ с $$A$$ и $$B$$. Получим искомый равнобедренный треугольник.

Ответ

Построения выполнены.

Решение

Пусть $$\angle C=x$$, $$\angle B=y$$. Тогда, так как $$AB=AC$$, треугольник $$ABC$$ равнобедренный, значит $$\angle B=\angle C$$, то есть $$x=y$$.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $$APQ$$. Тогда $$\angle A=\angle PQA=y$$, а

$$\angle APQ=180^\circ-2y.$$

В треугольнике $$PQR$$ угол $$\angle QPR$$ смежный с $$\angle APQ$$, значит

$$\angle QPR=180^\circ-\angle APQ=180^\circ-(180^\circ-2y)=2y.$$

Так как $$\triangle PQR$$ равнобедренный, то $$\angle QPR=\angle QRP$$, следовательно

$$\angle PQR=180^\circ-2\angle QPR=180^\circ-4y.$$

В равнобедренном треугольнике $$QRB$$ имеем $$\angle BQR=\angle RBQ$$. Угол $$\angle BQR$$ смежный с углом $$\angle PQA$$, поэтому

$$\angle BQR=180^\circ-(\angle PQA+\angle PQR)=180^\circ-(y+180^\circ-4y)=3y.$$

Тогда $$\angle RBQ=3y$$, а значит

$$\angle QRB=180^\circ-6y.$$

В равнобедренном треугольнике $$RBC$$ угол при вершине $$R$$ равен

$$\angle BRC=180^\circ-(\angle PRQ+\angle BRQ)=180^\circ-(2y+180^\circ-6y)=4y,$$

следовательно, $$\angle BCR=\angle BRC=4y.$$

Наконец, в равнобедренном треугольнике $$ABC$$ имеем $$\angle B=\angle C=4y$$. Тогда

$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ,$$

то есть

$$y+4y+4y=180^\circ,$$

$$9y=180^\circ,$$

$$y=20^\circ.$$

Следовательно, $$\angle A=20^\circ$$.

Ответ

$$\angle A=20^\circ$$.