Упр.298 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Постройте прямоугольный треугольник: а) по двум катетам; б) по катету и прилежащему к нему острому углу. На рисунке 145 AD||BE, AC-AD и ВС = ВЕ. Докажите, что угол DCE — прямой.
1) Построим отрезок $$AB$$, равный данному катету.
2) В точке $$A$$ восстановим перпендикуляр к прямой $$AB$$ и на нём отложим $$AC$$, равный второму катету.
3) Соединим точки $$C$$ и $$B$$. Получим прямоугольный треугольник $$ABC$$, так как $$AC \perp AB$$.
Если дан катет и прилежащий к нему острый угол, то:
1) Построим отрезок $$AB$$, равный данному катету.
2) В точке $$B$$ построим луч, образующий с $$BA$$ заданный острый угол.
3) На этом луче отложим точку $$C$$ так, чтобы $$BC$$ было равно данному катету.
4) Соединим точки $$A$$ и $$C$$. Получим искомый прямоугольный треугольник.
Докажем, что $$\angle DCE$$ — прямой.
Так как $$AC=AD$$, то треугольник $$DAC$$ равнобедренный, значит $$\angle D=\angle ACD$$.
Так как $$BC=BE$$, то треугольник $$CBE$$ равнобедренный, значит $$\angle E=\angle BCE$$.
Поскольку $$AD \parallel BE$$, а $$AB$$ — секущая, то
$$\angle A+\angle B=180^\circ.$$
В треугольнике $$DAC$$:
$$\angle D+\angle A+\angle ACD=180^\circ.$$
В треугольнике $$CBE$$:
$$\angle B+\angle E+\angle BCE=180^\circ.$$
Подставим $$\angle D=\angle ACD$$ и $$\angle E=\angle BCE$$:
$$\angle A+\angle B=360^\circ-(\angle D+\angle ACD+\angle BCE+\angle C).$$
Так как $$\angle A+\angle B=180^\circ$$, получаем
$$\angle D+\angle ACD+\angle BCE+\angle C=180^\circ.$$
Но $$\angle D=\angle ACD$$ и $$\angle E=\angle BCE$$, значит
$$2\angle ACD+2\angle BCE=180^\circ,$$
откуда
$$\angle ACD+\angle BCE=90^\circ.$$
Тогда
$$\angle DCE=180^\circ-(\angle ACD+\angle BCE)=180^\circ-90^\circ=90^\circ.$$
Следовательно, $$\angle DCE$$ — прямой.
Ответ
$$\angle DCE=90^\circ.$$
