Упр.296 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Даны отрезок $$PQ$$ и угол $$hk$$. Постройте треугольник $$ABC$$ так, чтобы:
а) $$AB = PQ$$, $$\angle ABC = \angle hk$$, $$\angle BAC = \frac{1}{2}\angle hk$$;
б) $$AB = PQ$$, $$\angle ABC = \angle hk$$, $$\angle BAC = \frac{1}{4}\angle hk$$.
В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ биссектрисы равных углов $$B$$ и $$C$$ пересекаются в точке $$O$$. Докажите, что угол $$BOC$$ равен внешнему углу треугольника при вершине $$B$$.

Подробный ответ

Пусть $$BF$$ и $$CE$$ — биссектрисы углов $$B$$ и $$C$$ равнобедренного треугольника $$ABC$$, а $$O$$ — точка их пересечения.

Так как треугольник $$ABC$$ равнобедренный, то $$\angle B=\angle C$$. Тогда биссектрисы этих углов делят их пополам, значит

$$\angle OBC=\angle OCB.$$

Следовательно, треугольник $$BOC$$ равнобедренный, и его углы при основании равны.

Найдём угол $$\angle BOC$$:

$$\angle BOC=180^\circ-(\angle OBC+\angle OCB)=180^\circ-2\angle OBC.$$

Но $$\angle OBC=\dfrac{1}{2}\angle B$$, поэтому

$$\angle BOC=180^\circ-\angle B.$$

Угол $$180^\circ-\angle B$$ является внешним углом треугольника при вершине $$B$$, так как он смежный с внутренним углом $$\angle B$$.

Значит, $$\angle BOC$$ равен внешнему углу треугольника при вершине $$B$$, что и требовалось доказать.