Упр.296 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Даны отрезок PQ и угол hk. Постройте треугольник ABC так, чтобы: а) AB = PQ, угол ABC = угол hk, угол BAC = 1/2 угол hk; б) AB = PQ, угол ABC = угол hk, угол BAC = 1/4 угол hk. В равнобедренном треугольнике ABC биссектрисы равных углов В и С пересекаются в точке О. Докажите, что угол ВОС равен внешнему углу треугольника при вершине В.

Подробный ответ

а) Построим угол $$\angle ABC$$, равный данному углу $$hk$$, с вершиной в точке $$B$$. На одном из его лучей отложим отрезок $$BA$$, равный $$PQ$$.

Теперь нужно построить луч $$AC$$ так, чтобы $$\angle BAC=\frac12\angle hk$$. Для этого разделим угол $$\angle ABC$$ пополам: построим биссектрису угла $$\angle ABC$$. Пусть она пересекает второй луч угла в точке $$C$$. Тогда

$$\angle BAC=\frac12\angle ABC=\frac12\angle hk.$$

Соединим $$C$$ с $$B$$. Получим треугольник $$ABC$$, удовлетворяющий условию.

б) Снова построим угол $$\angle ABC$$, равный данному углу $$hk$$, и отложим на его стороне отрезок $$BA=PQ$$.

Теперь нужно получить $$\angle BAC=\frac14\angle hk$$. Для этого сначала разделим угол $$\angle ABC$$ пополам, а затем полученный угол $$\angle BAC_1$$ снова разделим пополам. Второй биссектрисой получим луч $$AC$$. Тогда

$$\angle BAC=\frac14\angle ABC=\frac14\angle hk.$$

Соединим $$C$$ с $$B$$. Искомый треугольник построен.

Доказательство. Пусть в равнобедренном треугольнике $$ABC$$ $$\angle B=\angle C$$, а биссектрисы этих углов пересекаются в точке $$O$$.

Так как $$BF$$ — биссектриса угла $$B$$, а $$CE$$ — биссектриса угла $$C$$, то

$$\angle OBC=\frac12\angle B,\qquad \angle OCB=\frac12\angle C.$$

Но $$\angle B=\angle C$$, значит

$$\angle OBC=\angle OCB.$$

Следовательно, треугольник $$BOC$$ равнобедренный, и

$$\angle BOC=180^\circ-\left(\angle OBC+\angle OCB\right)=180^\circ-2\angle OBC.$$

Так как $$\angle OBC=\frac12\angle B$$, получаем

$$\angle BOC=180^\circ-\angle B.$$

Угол $$180^\circ-\angle B$$ является внешним углом треугольника $$ABC$$ при вершине $$B$$. Значит, $$\angle BOC$$ равен внешнему углу треугольника при вершине $$B$$, что и требовалось доказать.