Упр.292 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Даны прямая $$a$$ и отрезок $$AB$$. Постройте прямую $$p$$, параллельную прямой $$a$$, так, чтобы расстояние между прямыми $$a$$ и $$p$$ было равно $$AB$$.
- Даны отрезки $$P_1Q_1$$, $$P_2Q_2$$ и $$P_3Q_3$$. Постройте треугольник $$ABC$$ так, чтобы:
а) $$AB=P_1Q_1$$, $$BC=P_2Q_2$$, $$CA=2P_3Q_3$$;
б) $$AB=2P_1Q_1$$, $$BC=P_2Q_2$$, $$CA=\frac{3}{2}P_3Q_3$$.
Всегда ли задача имеет решение?
Пусть требуется построить треугольник по трём сторонам. Используем свойство: треугольник существует тогда и только тогда, когда сумма любых двух его сторон больше третьей.
а)
Построим отрезок $$BC=P_2Q_2.$$
На концах отрезка $$BC$$ отметим точки $$B$$ и $$C$$. Затем построим окружность с центром в точке $$B$$ и радиусом $$P_1Q_1$$, а также окружность с центром в точке $$C$$ и радиусом $$2P_3Q_3$$. Точка их пересечения обозначим через $$A$$. Соединим точки $$A$$ с $$B$$ и $$C$$.
Тогда получим треугольник $$ABC$$, у которого
$$AB=P_1Q_1,\quad BC=P_2Q_2,\quad CA=2P_3Q_3.$$
б)
Построим отрезок $$BC=P_2Q_2.$$
На концах отрезка $$BC$$ отметим точки $$B$$ и $$C$$. Затем построим окружность с центром в точке $$B$$ и радиусом $$2P_1Q_1$$, а также окружность с центром в точке $$C$$ и радиусом $$\frac{3}{2}P_3Q_3$$. Точку их пересечения обозначим через $$A$$. Соединим точки $$A$$ с $$B$$ и $$C$$.
Тогда получим треугольник $$ABC$$, у которого
$$AB=2P_1Q_1,\quad BC=P_2Q_2,\quad CA=\frac{3}{2}P_3Q_3.$$
Задача имеет решение не всегда. Оно существует только в том случае, если выполняются неравенства треугольника:
$$AB+BC>CA,\quad AB+CA>BC,\quad BC+CA>AB.$$
Если хотя бы одно из них не выполняется, построить треугольник нельзя.
Ответ
Треугольник строится как пересечение двух окружностей с радиусами, равными двум заданным сторонам, при основании, равном третьей стороне. Решение существует не всегда: должны выполняться неравенства треугольника.
