Упр.292 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Даны прямая а и отрезок АВ. Постройте прямую р, параллельную прямой а, так, чтобы расстояние между прямыми а и р было равно АВ. Решение Отметим на прямой а какую-нибудь точку С и проведём через точку С прямую b, перпендикулярную к прямой а (рис. 142). Затем на одном из лучей прямой b, исходящих из точки С, отложим отрезок CD, равный отрезку АВ. Через точку D проведём прямую р, перпендикулярную к прямой b. Прямая р — искомая (объясните почему). Как видно из построения, для любой данной прямой а и любого данного отрезка АВ искомую прямую можно построить, причём задача имеет два решения (прямые р и р1 на рисунке 143). Даны отрезки P1Q1, P2Q2 и P3Q3 Постройте треугольник ABC так, чтобы: а) AB =P1Q1, BC=P2Q2, CA = 2P3Q3, б) AB = 2P1Ql, BC = P2Q2, CA = 3/2P3Q3. Всегда ли задача имеет решение?

Обозначим данные отрезки через $$a_1=P_1Q_1,\quad a_2=P_2Q_2,\quad a_3=P_3Q_3.$$

а) Нужно построить треугольник со сторонами $$AB=a_1,\quad BC=a_2,\quad CA=2a_3.$$

Построим отрезок $$BC=a_2.$$ Затем с центром в точке $$B$$ проведём окружность радиуса $$a_1,$$ а с центром в точке $$C$$ — окружность радиуса $$2a_3.$$ Точка их пересечения и будет вершиной $$A$$. Соединим $$A$$ с $$B$$ и $$C$$.

Такое построение возможно тогда и только тогда, когда выполняется неравенство треугольника:

$$a_1+a_2>2a_3,\quad a_1+2a_3>a_2,\quad a_2+2a_3>a_1.$$

Если хотя бы одно из этих неравенств не выполняется, задача не имеет решения.

б) Теперь нужно построить треугольник со сторонами $$AB=2a_1,\quad BC=a_2,\quad CA=\frac{3}{2}a_3.$$

Строим отрезок $$BC=a_2.$$ Затем проводим окружность с центром в точке $$B$$ радиуса $$2a_1$$ и окружность с центром в точке $$C$$ радиуса $$\frac{3}{2}a_3.$$ Их точка пересечения даёт вершину $$A.$$ После этого соединяем точки $$A,$$ $$B,$$ $$C.$$

Задача имеет решение тогда и только тогда, когда выполняются неравенства треугольника:

$$2a_1+a_2>\frac{3}{2}a_3,\quad 2a_1+\frac{3}{2}a_3>a_2,\quad a_2+\frac{3}{2}a_3>2a_1.$$

Если одно из них нарушается, построение невозможно.

Следовательно, задача не всегда имеет решение: оно существует только при выполнении неравенств треугольника для соответствующих трёх сторон.

Ответ

а) Построение возможно, если $$a_1+a_2>2a_3,$$ $$a_1+2a_3>a_2,$$ $$a_2+2a_3>a_1.$$
б) Построение возможно, если $$2a_1+a_2>\frac{3}{2}a_3,$$ $$2a_1+\frac{3}{2}a_3>a_2,$$ $$a_2+\frac{3}{2}a_3>2a_1.$$
Не всегда.