Упр.290 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Прямые $$a$$ и $$b$$ параллельны. Докажите, что середины всех отрезков $$XY$$, где $$X$$ принадлежит $$a$$, $$Y$$ принадлежит $$b$$, лежат на прямой, параллельной прямым $$a$$ и $$b$$ и равноудалённой от этих прямых.
- Постройте прямоугольный треугольник: а) по двум катетам; б) по катету и прилежащему к нему острому углу.
Пусть $$O$$ — середина отрезка $$XY$$. Проведём через точку $$O$$ прямую $$c$$, параллельную прямым $$a$$ и $$b$$.
Обозначим через $$O_1$$ и $$O_2$$ основания перпендикуляров, опущенных из точки $$O$$ на прямые $$a$$ и $$b$$ соответственно. Тогда $$OO_1 \perp a$$ и $$OO_2 \perp b$$, а значит, треугольники $$\triangle OO_1X$$ и $$\triangle OO_2Y$$ прямоугольные.
Так как $$a \parallel b$$, то углы $$\angle O_1OX$$ и $$\angle OYO_2$$ равны как накрест лежащие. Кроме того, по условию $$OX=OY$$. Следовательно, прямоугольные треугольники $$\triangle OO_1X$$ и $$\triangle OO_2Y$$ равны по гипотенузе и острому углу.
Из равенства треугольников получаем:
$$OO_1=OO_2.$$
Значит, точка $$O$$ равноудалена от прямых $$a$$ и $$b$$. Но множество всех точек, равноудалённых от двух параллельных прямых, образует прямую, параллельную этим прямым и проходящую посередине между ними. Следовательно, все середины отрезков $$XY$$ лежат на одной прямой $$c$$, причём $$c \parallel a$$ и $$c \parallel b$$, а также $$c$$ равноудалена от прямых $$a$$ и $$b$$.
Ответ: середины всех отрезков $$XY$$ лежат на прямой $$c$$, параллельной $$a$$ и $$b$$ и равноудалённой от них.
