Упр.287 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Докажите, что все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудалённые от неё, лежат на прямой, параллельной данной. Постройте треугольник по стороне, медиане, проведённой к одной из двух других сторон, и углу между данными стороной и медианой.

Пусть дана прямая $$a$$ и точки $$A, B, C$$, лежащие по одну сторону от неё и равноудалённые от прямой $$a$$. Обозначим основания перпендикуляров: $$AA_1 \perp a$$, $$BB_1 \perp a$$, $$CC_1 \perp a$$.

По условию $$AA_1 = BB_1 = CC_1$$.

Проведём через точку $$A$$ прямую $$b$$, параллельную прямой $$a$$. Тогда все точки прямой $$b$$ находятся на одном и том же расстоянии от прямой $$a$$, равном расстоянию между параллельными прямыми $$a$$ и $$b$$, то есть $$AA_1$$.

Так как точки $$B$$ и $$C$$ тоже равноудалены от прямой $$a$$ на расстояние $$BB_1 = CC_1 = AA_1$$, то они должны лежать на прямой $$b$$. Следовательно, точки $$A, B, C$$ принадлежат одной прямой, параллельной прямой $$a$$.

Построим треугольник по стороне, медиане, проведённой к одной из двух других сторон, и углу между данными стороной и медианой.

Пусть даны сторона $$AO$$, медиана $$BO$$ и угол $$\angle AOB$$. Требуется построить треугольник $$AOC$$, в котором $$BO$$ — медиана к стороне $$AC$$.

Построение:

1. Построим угол $$\angle O$$ заданной величины.
2. На одной стороне угла отложим от вершины $$O$$ отрезок $$OA$$, равный данной стороне.
3. На другой стороне угла отложим от вершины $$O$$ отрезок $$OB$$, равный данной медиане.
4. Соединим точки $$A$$ и $$B$$.
5. Построим окружность с центром в точке $$B$$ и радиусом $$BA$$.
6. На продолжении луча $$AB$$ за точку $$B$$ отметим точку $$C$$ так, чтобы $$BC = BA$$.
7. Соединим точки $$C$$ и $$O$$.

Тогда точка $$B$$ — середина отрезка $$AC$$, значит, $$BO$$ является медианой треугольника $$AOC$$. Угол между стороной $$OA$$ и медианой $$OB$$ равен заданному.

Ответ

Все точки, равноудалённые от данной прямой и лежащие по одну сторону от неё, находятся на прямой, параллельной данной. Треугольник строится по указанному алгоритму.