Упр.284 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Через середину отрезка проведена прямая. Докажите, что концы отрезка равноудалены от этой прямой.
- Даны прямая $$a$$ и отрезок $$AB$$. Постройте прямую $$p$$, параллельную прямой $$a$$, так, чтобы расстояние между прямыми $$a$$ и $$p$$ было равно $$AB$$.
Пусть прямая $$b$$ проходит через середину отрезка $$AB$$ и перпендикулярна ему. Обозначим середину отрезка $$AB$$ через $$O$$, тогда $$AO=OB$$ и $$A,O,B$$ лежат на одной прямой, а $$b\perp AB$$.
Рассмотрим треугольники $$\triangle AOD$$ и $$\triangle BOC$$, где точки $$D$$ и $$C$$ — основания перпендикуляров из концов отрезка $$AB$$ на прямую $$b$$. Эти треугольники прямоугольные, так как $$AD\perp b$$ и $$BC\perp b$$, а также имеют равные гипотенузы $$AO=OB$$ и равные острые углы при вершине $$O$$, поскольку они образованы прямыми $$AB$$ и $$b$$.
Следовательно, $$\triangle AOD \cong \triangle BOC$$ по гипотенузе и острому углу. Тогда соответствующие катеты равны:
$$AD=CB.$$
Значит, концы отрезка $$AB$$ равноудалены от прямой $$b$$.
Ответ
Концы отрезка равноудалены от прямой, проходящей через его середину и перпендикулярной ему.
