Упр.283 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- На основании $$AB$$ равнобедренного треугольника $$ABC$$ взята точка $$M$$, равноудалённая от боковых сторон. Докажите, что $$CM$$ — высота треугольника $$ABC$$.
- Что представляет собой множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной прямой?
Пусть $$E$$ и $$F$$ — основания перпендикуляров, опущенных из точки $$M$$ на стороны $$AC$$ и $$BC$$ соответственно. Тогда $$ME \perp AC$$, $$MF \perp BC$$, а по условию $$EM=MF$$.
Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle AEM$$ и $$\triangle MFB$$. В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ углы при основании равны, значит $$\angle A=\angle B$$. Кроме того, $$\angle AEM=\angle MFB=90^\circ$$ и $$EM=MF$$. Следовательно, $$\triangle AEM \cong \triangle MFB$$ по катету и прилежащему острому углу.
Отсюда получаем $$AM=MB$$. Значит, точка $$M$$ равноудалена от точек $$A$$ и $$B$$, то есть лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $$AB$$.
В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ медиана, проведённая из вершины $$C$$ к основанию $$AB$$, является также высотой. Так как точка $$M$$ лежит на серединном перпендикуляре к $$AB$$, то прямая $$CM$$ совпадает с этой медианой. Следовательно, $$CM \perp AB$$, то есть $$CM$$ — высота треугольника $$ABC$$.
Ответ: $$CM$$ — высота треугольника $$ABC$$.
