Упр.280 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: В равностороннем треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Расстояние от точки D до прямой АС равно 6 см. Найдите расстояние от вершины А до прямой ВС. Даны неразвёрнутый угол ABC и отрезок PQ. Что представляет собой множество всех точек, лежащих внутри данного угла и удалённых от прямой ВС на расстояние PQ?

Подробный ответ

1) В равностороннем треугольнике $$ABC$$ все углы равны $$60^\circ$$, значит $$\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$$, а также $$AB = BC = AC$$.

Пусть $$H$$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $$D$$ на прямую $$AC$$. Тогда $$DH \perp AC$$ и $$DH = 6$$ см.

Так как $$AD$$ — биссектриса угла $$A$$, то

$$\angle HAD = \frac{\angle A}{2} = 30^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $$ADH$$ имеем:

$$\angle AHD = 90^\circ,$$

поэтому

$$\angle ADH = 180^\circ — 90^\circ — 30^\circ = 60^\circ.$$

Треугольник $$ADH$$ — прямоугольный с углами $$30^\circ$$, $$60^\circ$$, $$90^\circ$$. В таком треугольнике катет, лежащий против угла $$30^\circ$$, вдвое меньше гипотенузы. Следовательно,

$$AD = 2DH = 2 \cdot 6 = 12 \text{ см}.$$

2) Множество всех точек, лежащих внутри угла $$\angle ABC$$ и удалённых от прямой $$BC$$ на расстояние $$PQ$$, представляет собой часть прямой, параллельной $$BC$$ и проходящей через точку $$Q$$.

Действительно, все точки, находящиеся на одном и том же расстоянии от прямой $$BC$$, лежат на прямой, параллельной $$BC$$. Так как требуется взять только точки внутри угла $$\angle ABC$$, получаем луч, исходящий из точки $$Q$$ и параллельный $$BC$$.