Упр.280 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В равностороннем треугольнике $$ABC$$ проведена биссектриса $$AD$$. Расстояние от точки $$D$$ до прямой $$AC$$ равно $$6\ см$$. Найдите расстояние от вершины $$A$$ до прямой $$BC$$.
2. Даны неразвёрнутый угол $$ABC$$ и отрезок $$PQ$$. Что представляет собой множество всех точек, лежащих внутри данного угла и удалённых от прямой $$BC$$ на расстояние $$PQ$$?

В равностороннем треугольнике $$ABC$$ все углы равны $$60^\circ$$, а биссектриса $$AD$$ является также высотой. Значит, $$DH \perp AC$$, где $$H$$ — основание перпендикуляра из точки $$D$$ на прямую $$AC$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ADH$$. Так как $$AD$$ — биссектриса угла $$A$$, то

$$\angle HAD=\frac{60^\circ}{2}=30^\circ.$$

По условию $$DH=6$$ см. В прямоугольном треугольнике с углом $$30^\circ$$ противолежащий катет равен половине гипотенузы, значит

$$DH=\frac{1}{2}AD,$$

откуда

$$AD=2\cdot DH=2\cdot 6=12\text{ см}.$$

Расстояние от вершины $$A$$ до прямой $$BC$$ равно высоте равностороннего треугольника, а в равностороннем треугольнике все высоты равны. Следовательно, это расстояние также равно $$12$$ см.

Ответ: $$12$$ см.