Упр.278 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Дано:
CH=4;
угол C=90°;
угол BAC=15°;
CM-медиан;
CH-высота;
Найти:
AB;
Решение:
1) В треугольнике AMC:
AM=MC=AC, угол A=угол C;
угол AMC=180°-(угол A+угол C);
угол AMC=180°-30°=150°;
2) В прямоугольном треугольнике MCH:
угол M=180°-угол AMC=30°;
MC=2•CH=2•4=8;
3) В прямоугольном треугольнике ABC:
AB=AM+BM=2•8=16;
Ответ: 16 см. Прямая АВ параллельна прямой CD. Найдите расстояние между этими прямыми, если угол ADC = 30°, AD = 6 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABC$$, где $$\angle C=90^\circ$$, $$\angle BAC=15^\circ$$. Тогда

$$\angle B=180^\circ-90^\circ-15^\circ=75^\circ.$$

Пусть $$M$$ — середина гипотенузы $$AB$$, а $$CH$$ — высота. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, значит

$$CM=AM=BM=\frac{AB}{2}.$$

Рассмотрим треугольник $$AMC$$. Так как $$AM=CM$$, он равнобедренный, поэтому

$$\angle MAC=\angle ACM.$$

Но $$\angle MAC=\angle BAC=15^\circ$$, следовательно

$$\angle ACM=15^\circ.$$

Тогда

$$\angle AMC=180^\circ-15^\circ-15^\circ=150^\circ.$$

Поскольку $$CH\perp AB$$ и точка $$H$$ лежит на $$AB$$, в треугольнике $$MCH$$ угол при $$H$$ прямой, а

$$\angle CMH=180^\circ-\angle AMC=30^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $$MCH$$ гипотенуза $$MC$$, а угол при $$M$$ равен $$30^\circ$$. Значит, катет, лежащий против угла $$30^\circ$$, равен половине гипотенузы:

$$CH=\frac{1}{2}MC.$$

Отсюда

$$MC=2\cdot CH=2\cdot 4=8.$$

Так как $$MC=\dfrac{AB}{2}$$, получаем

$$AB=2\cdot MC=2\cdot 8=16.$$

Ответ

$$16\text{ см}$$