Упр.278 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. К гипотенузе $$AB$$ прямоугольного треугольника $$ABC$$ с углом $$15^\circ$$ проведены медиана $$CM$$ и высота $$CH$$. Найдите $$AB$$, если $$CH=4$$.
2. Прямая $$AB$$ параллельна прямой $$CD$$. Найдите расстояние между этими прямыми, если угол $$ADC=30^\circ$$, $$AD=6\text{ см}$$.

Пусть $$M$$ — середина гипотенузы $$AB$$, а $$H$$ — основание высоты $$CH$$.

Рассмотрим треугольник $$AMC$$. Так как $$CM$$ — медиана к гипотенузе прямоугольного треугольника $$ABC$$, то $$MA=MC$$. Кроме того, в прямоугольном треугольнике $$ABC$$ середина гипотенузы равноудалена от всех его вершин, значит $$MA=MC=AC$$.

Тогда треугольник $$AMC$$ равнобедренный, поэтому $$\angle A=\angle C$$. Поскольку $$\angle BAC=15^\circ$$, а $$\angle C=90^\circ$$, получаем

$$\angle AMC=180^\circ-(15^\circ+15^\circ)=150^\circ.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$MCH$$. В нём $$\angle M=180^\circ-150^\circ=30^\circ$$, а значит, в треугольнике с углом $$30^\circ$$ катет, лежащий против этого угла, равен половине гипотенузы:

$$CH=\frac{1}{2}CM.$$

Следовательно,

$$CM=2\cdot CH=2\cdot 4=8.$$

Так как $$MA=MC=8$$, а $$M$$ — середина гипотенузы, то

$$AB=2\cdot AM=2\cdot 8=16.$$

Ответ: $$16\text{ см}$$.