Упр.277 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Две вершины треугольника являются концами диаметра окружности, а третья вершина лежит на окружности. Докажите, что этот треугольник прямоугольный.
- Расстояние между параллельными прямыми $$a$$ и $$b$$ равно 3 см, а между параллельными прямыми $$a$$ и $$c$$ равно 5 см. Найдите расстояние между прямыми $$b$$ и $$c$$.
Рассмотрим треугольник $$ABC$$, вписанный в окружность с центром $$O$$, где $$AB$$ — диаметр.
Соединим точки $$O$$ и $$C$$. Тогда $$OA=OC$$, значит, треугольник $$AOC$$ равнобедренный, и
$$\angle CAO=\angle ACO.$$
Поскольку луч $$AO$$ лежит на прямой $$AB$$, то $$\angle CAO=\angle A$$. Следовательно,
$$\angle COB=\angle CAO+\angle ACO=2\angle CAO=2\angle A.$$
Теперь рассмотрим треугольник $$COB$$. В нём $$CO=OB$$, значит, он равнобедренный, поэтому
$$\angle CBO=\angle BCO.$$
Тогда
$$\angle B+\angle C=180^\circ-\angle COB.$$
Но $$\angle B=\angle CBO$$ и $$\angle C=\angle BCO$$, значит,
$$2\angle B=180^\circ-2\angle A,$$
откуда
$$\angle B=90^\circ-\angle A.$$
В треугольнике $$ABC$$ сумма углов равна $$180^\circ$$, поэтому
$$\angle C=180^\circ-\angle A-\angle B=180^\circ-\angle A-(90^\circ-\angle A)=90^\circ.$$
Следовательно, $$\angle ACB=90^\circ$$, то есть треугольник $$ABC$$ прямоугольный.
