Упр.276 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: 276. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен 5 см. Найдите медиану этого треугольника, проведённую к гипотенузе. Через середину отрезка проведена прямая. Докажите, что концы отрезка равноудалены от этой прямой.

1) Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABC$$, где $$\angle B=90^\circ$$, $$\angle C=30^\circ$$, $$AB=5$$ см.

По определению синуса:

$$\sin \angle C=\frac{AB}{AC}$$

Тогда

$$AC=\frac{AB}{\sin 30^\circ}=\frac{5}{\frac12}=10$$

Так как $$\angle A=90^\circ-\angle C=60^\circ$$, а $$M$$ — середина гипотенузы $$AC$$, то

$$AM=\frac12 AC=\frac12 \cdot 10=5$$

2) Рассмотрим треугольник $$ABM$$. В нём $$AB=5$$ и $$AM=5$$, значит

$$AB=AM$$

Следовательно, треугольник $$ABM$$ равнобедренный, поэтому его углы при основании равны. Так как $$\angle A=60^\circ$$, то и остальные углы треугольника $$ABM$$ равны $$60^\circ$$, а значит треугольник $$ABM$$ равносторонний.

Отсюда

$$BM=AB=5$$

3) Пусть через середину отрезка $$AB$$ проведена прямая $$a$$, перпендикулярная этому отрезку. Тогда точки $$A$$ и $$B$$ симметричны относительно прямой $$a$$, а значит равноудалены от неё.

Если же прямая $$a$$ проходит через середину отрезка и перпендикулярна ему, то расстояния от концов отрезка до этой прямой равны.

Ответ: $$5$$ см; концы отрезка равноудалены от данной прямой.