Упр.275 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Внутри угла дана точка $$A$$. Постройте прямую, проходящую через точку $$A$$ и отсекающую на сторонах угла равные отрезки.
2. На основании $$AB$$ равнобедренного треугольника $$ABC$$ взята точка $$M$$, равноудалённая от боковых сторон. Докажите, что $$CM$$ — высота треугольника $$ABC$$.

Пусть $$E$$ и $$F$$ — основания перпендикуляров, опущенных из точки $$M$$ на стороны $$AC$$ и $$BC$$ соответственно. Тогда $$ME \perp AC$$, $$MF \perp BC$$ и по условию $$ME=MF$$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle AEM$$ и $$\triangle MFB$$. У них:

• $$\angle AEM=\angle MFB=90^\circ$$;
• $$\angle A=\angle B$$, так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный;
• $$EM=MF$$ по условию.

Следовательно, $$\triangle AEM \cong \triangle MFB$$ по катету и острому углу. Отсюда получаем

$$AM=MB.$$

Значит, точка $$M$$ равноудалена от точек $$A$$ и $$B$$, то есть лежит на серединном перпендикуляре к основанию $$AB$$. В равнобедренном треугольнике этот перпендикуляр проходит через вершину $$C$$, поэтому прямая $$CM$$ является высотой треугольника $$ABC$$.

Ответ

$$CM$$ — высота треугольника $$ABC$$.