Упр.274 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Докажите, что треугольник АВС = треугольнику А1В1С1, если угол A = угол A1, угол B = угол B1 и ВН = B1H1, где ВН и В1Н1 — высоты треугольник АВС и треугольник A1B1С1. Докажите, что в равнобедренном треугольнике середина основания равноудалена от боковых сторон.

Подробный ответ

1) Рассмотрим треугольники $$\triangle ABH$$ и $$\triangle A_1B_1H_1$$. Они прямоугольные, так как $$BH$$ и $$B_1H_1$$ — высоты, значит $$\angle AHB=\angle A_1H_1B_1=90^\circ$$.

По условию $$\angle A=\angle A_1$$, $$\angle B=\angle B_1$$ и $$BH=B_1H_1$$. Следовательно, $$\triangle ABH \cong \triangle A_1B_1H_1$$ по катету и двум прилежащим углам.

Отсюда $$AB=A_1B_1$$.

2) Теперь рассмотрим треугольники $$\triangle ABC$$ и $$\triangle A_1B_1C_1$$. У них

$$AB=A_1B_1,\quad \angle A=\angle A_1,\quad \angle B=\angle B_1.$$

Значит, $$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$$ по стороне и двум прилежащим углам.

3) Докажем, что в равнобедренном треугольнике середина основания равноудалена от боковых сторон.

Пусть $$\triangle ABC$$ — равнобедренный, $$AB=BC$$, а $$D$$ — середина основания $$AC$$, то есть $$AD=DC$$. Проведём перпендикуляры $$DE\perp AB$$ и $$DF\perp BC$$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle DEA$$ и $$\triangle DFC$$. В них

$$\angle DEA=\angle DFC=90^\circ,$$

$$\angle DAE=\angle DCF=\angle A=\angle C,$$

$$AD=DC.$$

Следовательно, $$\triangle DEA \cong \triangle DFC$$ по гипотенузе и острому углу. Тогда

$$DE=DF.$$

Значит, середина основания равнобедренного треугольника равноудалена от его боковых сторон.