Упр.272 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что два остроугольных треугольника равны, если сторона и высоты, проведённые из концов этой стороны, одного треугольника соответственно равны стороне и высотам, проведённым из концов этой стороны, другого треугольника.
2. В равностороннем треугольнике $$ABC$$ проведена биссектриса $$AD$$. Расстояние от точки $$D$$ до прямой $$AC$$ равно 6 см. Найдите расстояние от вершины $$A$$ до прямой $$BC$$.

Пусть $$DH$$ — расстояние от точки $$D$$ до прямой $$AC$$, тогда $$DH=6$$ см и $$DH\perp AC$$.

Так как $$\triangle ABC$$ равносторонний, то $$\angle A=60^\circ$$. Биссектриса $$AD$$ делит угол $$A$$ пополам, значит

$$\angle DAC=30^\circ.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ADH$$. В нём $$\angle ADH=90^\circ$$, а $$\angle DAH=30^\circ$$, поэтому это треугольник с углами $$30^\circ$$, $$60^\circ$$ и $$90^\circ$$. В таком треугольнике катет, лежащий против угла $$30^\circ$$, равен половине гипотенузы:

$$DH=\frac{1}{2}AD.$$

Тогда

$$AD=2DH=2\cdot 6=12\text{ см}.$$

Ответ: $$12$$ см.