Упр.271 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: На сторонах угла О отмечены точки А и В так, что ОА = ОВ. Через эти точки проведены прямые, перпендикулярные к сторонам угла и пересекающиеся в точке С. Докажите, что луч ОС — биссектриса угла О. Из точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонная, сумма длин которых равна 17 см, а разность длин равна 1 см. Найдите расстояние от точки до прямой.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольники $$\triangle OAC$$ и $$\triangle OBC$$.

Так как $$AC \perp OA$$ и $$BC \perp OB$$, то $$\angle OAC = \angle OBC = 90^\circ$$.

Кроме того, $$OC$$ — общая сторона, а по условию $$OA = OB$$.

Следовательно, $$\triangle OAC \cong \triangle OBC$$ по гипотенузе и катету.

Из равенства треугольников получаем равенство углов:

$$\angle AOC = \angle COB.$$

Значит, луч $$OC$$ делит угол $$O$$ пополам, то есть является биссектрисой угла $$O$$.

Теперь найдём расстояние от точки до прямой. Пусть $$x$$ — длина перпендикуляра, а длина наклонной равна $$x+1$$, так как их разность равна $$1$$ см.

По условию:

$$ x + (x+1) = 17 $$

$$ 2x + 1 = 17 $$