Упр.270 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведены биссектриса AF и высота АН. Найдите углы треугольника AHF, если угол B = 112°. Внутри угла дана точка А. Постройте прямую, проходящую через точку А и отсекающую на сторонах угла равные отрезки.
1) Так как треугольник $$ABC$$ равнобедренный с основанием $$AC$$, то $$\angle A=\angle C$$.
Сумма углов треугольника равна $$180^\circ$$, значит
$$ \angle A=\angle C=\frac{180^\circ-112^\circ}{2}=\frac{68^\circ}{2}=34^\circ. $$
2) Луч $$AF$$ — биссектриса угла $$A$$, поэтому
$$ \angle BAF=\angle FAC=\frac{34^\circ}{2}=17^\circ. $$
3) Точка $$H$$ лежит на высоте $$AH$$, значит $$AH\perp BC$$. Поскольку $$F\in BC$$, то $$HF\subset BC$$ и, следовательно, $$AH\perp HF$$. Поэтому
$$ \angle AHF=90^\circ. $$
4) В треугольнике $$AHF$$ угол при вершине $$F$$ равен
$$ \angle HFA=180^\circ-\angle AHF-\angle HAF. $$
Так как $$\angle HAF=\angle BAF=17^\circ$$, получаем
$$ \angle HFA=180^\circ-90^\circ-17^\circ=73^\circ. $$
Следовательно, углы треугольника $$AHF$$ равны $$90^\circ$$, $$17^\circ$$ и $$73^\circ$$.
Ответ
$$\angle AHF=90^\circ,\ \angle HAF=17^\circ,\ \angle HFA=73^\circ.$$
Построение
Пусть дана точка $$A$$ внутри угла с вершиной $$O$$.
- Построим окружность с центром в точке $$O$$, пересекающую стороны угла в точках $$E$$ и $$F$$.
- Построим окружности с центрами в точках $$E$$ и $$F$$ и одинаковым радиусом; пусть они пересекутся в точке $$M$$.
- Проведём луч $$OM$$. Он является биссектрисой угла $$O$$.
- Построим окружность с центром в точке $$A$$, пересекающую луч $$OM$$ в точках $$M_1$$ и $$M_2$$.
- Построим окружности с центрами в точках $$M_1$$ и $$M_2$$, проходящие через точку $$A$$; пусть они пересекут луч $$OM$$ в точке $$A_1$$.
- Проведём прямую $$AA_1$$. Она пересечёт стороны угла в точках $$B$$ и $$C$$.
Тогда $$OB=OC$$, то есть искомая прямая проходит через точку $$A$$ и отсекает на сторонах угла равные отрезки.
