Упр.270 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ с основанием $$AC$$ проведены биссектриса $$AF$$ и высота $$AH$$. Найдите углы треугольника $$AHF$$, если $$\angle B=112^\circ$$.
2. Внутри угла дана точка $$A$$. Постройте прямую, проходящую через точку $$A$$ и отсекающую на сторонах угла равные отрезки.

Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный с основанием $$AC$$, то $$\angle A=\angle C$$.

Найдём углы при основании:

$$\angle A=\angle C=\frac{180^\circ-112^\circ}{2}=\frac{68^\circ}{2}=34^\circ.$$

Поскольку $$AF$$ — биссектриса угла $$A$$, получаем:

$$\angle BAF=\angle FAC=\frac{34^\circ}{2}=17^\circ.$$

Точка $$H$$ лежит на высоте $$AH$$, значит $$AH\perp BC$$. Так как точки $$B, F, C$$ лежат на одной прямой, то $$HF$$ — часть прямой $$BC$$, следовательно, $$AH\perp HF$$ и

$$\angle AHF=90^\circ-\angle HAF.$$

В треугольнике $$AHF$$ угол при вершине $$A$$ равен

$$\angle HAF=\angle BAC-\angle BAF=34^\circ-17^\circ=17^\circ.$$

Тогда

$$\angle AHF=90^\circ-17^\circ=73^\circ.$$

Теперь найдём третий угол треугольника $$AHF$$:

$$\angle AFH=180^\circ-90^\circ-17^\circ=73^\circ.$$

Ответ: $$\angle HAF=17^\circ,\ \angle AHF=73^\circ,\ \angle AFH=73^\circ.$$