Упр.269 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Высоты $$AA_1$$ и $$BB_1$$ треугольника $$ABC$$ пересекаются в точке $$M$$. Найдите угол $$AMB$$, если угол $$A=55^\circ$$, угол $$B=67^\circ$$.
2. Докажите, что треугольник $$ABC$$ = треугольнику $$A_1B_1C_1$$, если угол $$A$$ = угол $$A_1$$, угол $$B$$ = угол $$B_1$$ и $$BH = B_1H_1$$, где $$BH$$ и $$B_1H_1$$ — высоты треугольника $$ABC$$ и треугольника $$A_1B_1C_1$$.

Рассмотрим треугольник $$ABB_1$$. Так как $$BB_1 \perp AC$$, а точка $$A$$ лежит на прямой $$AC$$, то $$\angle ABB_1 = 90^\circ — \angle A = 90^\circ — 55^\circ = 35^\circ.$$

Аналогично, в треугольнике $$AA_1B$$ имеем $$AA_1 \perp BC$$, значит

$$\angle BAA_1 = 90^\circ — \angle B = 90^\circ — 67^\circ = 23^\circ.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$AMB$$. Его углы при вершинах $$A$$ и $$B$$ равны найденным углам, поэтому

$$\angle AMB = 180^\circ — \angle ABB_1 — \angle BAA_1 = 180^\circ — 35^\circ — 23^\circ = 122^\circ.$$

Ответ: $$122^\circ$$.