Упр.268 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Высоты, проведённые к боковым сторонам $$AB$$ и $$AC$$ остроугольного равнобедренного треугольника $$ABC$$, пересекаются в точке $$M$$. Найдите углы треугольника, если угол $$BMC = 140^\circ$$.
- Сформулируйте и докажите утверждение о признаке равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу.
Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный, то $$\angle B=\angle C.$$
Пусть $$CD\perp AB$$ и $$BF\perp AC$$, а $$M$$ — точка их пересечения. Тогда угол между прямыми $$CD$$ и $$BF$$ равен углу между прямыми $$AB$$ и $$AC$$, то есть
$$\angle DMB=180^\circ-\angle BMC=180^\circ-140^\circ=40^\circ.$$
В прямоугольном треугольнике $$DBM$$ имеем
$$\angle DBM=90^\circ-\angle DMB=90^\circ-40^\circ=50^\circ.$$
Но $$\angle DBM=\angle B$$, так как $$BD\subset AB$$ и $$BM\perp AC$$? Удобнее заметить, что в прямоугольном треугольнике $$ABF$$ угол при вершине $$B$$ равен углу между $$AB$$ и $$BF$$, а поскольку $$BF\perp AC$$, то
$$\angle B=90^\circ-\angle A.$$
Аналогично
$$\angle C=90^\circ-\angle A.$$
Тогда
$$\angle B+\angle C=180^\circ-\angle A.$$
Так как $$\angle B=\angle C$$, получаем
$$2\angle B=180^\circ-\angle A.$$
Из найденного выше угла между высотами следует, что
$$\angle A=180^\circ-140^\circ=40^\circ.$$
Тогда
$$\angle B+\angle C=180^\circ-40^\circ=140^\circ,$$
а значит
$$\angle B=\angle C=\frac{140^\circ}{2}=70^\circ.$$
Ответ: $$\angle A=40^\circ,\ \angle B=\angle C=70^\circ.$$
