Упр.267 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Задание учебника 2025 года. В треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ углы $$A$$ и $$A_1$$ — прямые, $$BD$$ и $$B_1D_1$$ — биссектрисы. Докажите, что $$\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1$$, если $$\angle B=\angle B_1$$ и $$BD=B_1D_1$$.
Задание учебника 2023 года. Докажите, что два остроугольных треугольника равны, если сторона и высоты, проведённые из концов этой стороны, одного треугольника соответственно равны стороне и высотам, проведённым из концов этой стороны, другого треугольника.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольники $$ABD$$ и $$A_1B_1D_1$$.

Так как $$\angle A=\angle A_1=90^\circ$$, то треугольники $$ABD$$ и $$A_1B_1D_1$$ — прямоугольные. Поскольку $$BD$$ и $$B_1D_1$$ — биссектрисы, а $$\angle B=\angle B_1$$, имеем

$$\angle ABD=\angle A_1B_1D_1.$$

По условию $$BD=B_1D_1$$. Значит, в прямоугольных треугольниках $$ABD$$ и $$A_1B_1D_1$$ равны гипотенуза и острый угол, следовательно,

$$\triangle ABD \cong \triangle A_1B_1D_1.$$

Отсюда

$$AB=A_1B_1.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$. У них

$$\angle A=\angle A_1=90^\circ,$$

$$\angle B=\angle B_1,$$

$$AB=A_1B_1.$$

Следовательно, треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам:

$$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1.$$