Упр.266 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что в равнобедренном треугольнике высоты, проведённые из вершин основания, равны.
2. На сторонах угла $$О$$ отмечены точки $$А$$ и $$В$$ так, что $$ОА = ОВ$$. Через эти точки проведены прямые, перпендикулярные к сторонам угла и пересекающиеся в точке $$С$$. Докажите, что луч $$ОС$$ — биссектриса угла $$О$$.

Рассмотрим треугольники $$\triangle OAC$$ и $$\triangle OBC$$.

Так как $$OA=OB$$, то $$\triangle OAB$$ равнобедренный, значит, его углы при основании равны:

$$\angle OAB=\angle ABO.$$

По условию $$AC\perp OA$$ и $$BC\perp OB$$, следовательно,

$$\angle OAC=\angle OBC=90^\circ.$$

Кроме того, $$OC$$ — общая сторона для треугольников $$\triangle OAC$$ и $$\triangle OBC$$.

Значит, прямоугольные треугольники $$\triangle OAC$$ и $$\triangle OBC$$ равны по гипотенузе и катету:

$$OC=OC,\quad OA=OB.$$

Отсюда равны соответствующие углы:

$$\angle AOC=\angle COB.$$

Следовательно, луч $$OC$$ делит угол $$\angle AOB$$ пополам, то есть является биссектрисой угла $$O$$.

Ответ

$$OC$$ — биссектриса угла $$O$$.