Упр.264 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°. Высота, проведённая к боковой стороне, равна 9 см. Найдите основание треугольника. Высоты АА1 и ВВ1 треугольника ABC пересекаются в точке М. Найдите угол AMB, если угол A=55°, угол B = 67°.

1) Так как $$AB=BC$$, то треугольник $$ABC$$ равнобедренный, а угол при вершине $$B$$ равен $$120^\circ$$. Тогда углы при основании равны:

$$\angle BAC=\angle BCA=\frac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ.$$

Пусть $$AH$$ — высота, проведённая к боковой стороне $$BC$$, тогда $$AH\perp BC$$. В треугольнике $$ABH$$ угол при вершине $$B$$ равен

$$\angle HBA=180^\circ-120^\circ=60^\circ,$$

поэтому

$$\angle HAB=90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$

Тогда

$$\angle HAC=\angle HAB+\angle BAC=30^\circ+30^\circ=60^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $$AHC$$ имеем

$$\sin 60^\circ=\frac{AH}{AC},$$

откуда

$$AC=\frac{AH}{\sin 60^\circ}=\frac{9}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=6\sqrt{3}\text{ см}.$$

2) Так как $$AA_1\perp BC$$ и $$BB_1\perp AC$$, то в треугольнике $$ABB_1$$ угол при $$B_1$$ равен

$$\angle ABB_1=90^\circ-\angle B=90^\circ-67^\circ=23^\circ.$$

Аналогично в треугольнике $$BAA_1$$

$$\angle ABA_1=90^\circ-\angle A=90^\circ-55^\circ=35^\circ.$$

Рассмотрим треугольник $$AMB$$. Тогда

$$\angle AMB=180^\circ-\angle ABB_1-\angle BAA_1=180^\circ-23^\circ-35^\circ=122^\circ.$$

Ответ

$$AC=6\sqrt{3}\text{ см},\quad \angle AMB=122^\circ.$$