Упр.263 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Из середины $$D$$ стороны $$BC$$ равностороннего треугольника $$ABC$$ проведён перпендикуляр $$DM$$ к прямой $$AC$$. Найдите $$AM$$, если $$AB=12\text{ см}$$.
2. Высоты, проведённые к боковым сторонам $$AB$$ и $$AC$$ остроугольного равнобедренного треугольника $$ABC$$, пересекаются в точке $$M$$. Найдите углы треугольника, если $$\angle BMC=140^\circ$$.

Так как $$ABC$$ — равносторонний треугольник, то

$$AB=BC=AC=12\text{ см}.$$

Точка $$D$$ — середина стороны $$BC$$, значит

$$DC=\frac{BC}{2}=\frac{12}{2}=6\text{ см}.$$

Поскольку $$DM\perp AC$$, треугольник $$DMC$$ прямоугольный, причём $$\angle DCM=\angle ACB=60^\circ$$. Тогда

$$\angle MDC=90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $$DMC$$ катет, лежащий против угла $$30^\circ$$, равен половине гипотенузы, поэтому

$$MC=\frac{1}{2}DC=\frac{1}{2}\cdot 6=3\text{ см}.$$

Тогда

$$AM=AC-MC=12-3=9\text{ см}.$$

Ответ: $$9\text{ см}$$.