Упр.262 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ с прямым углом $$C$$ внешний угол при вершине $$A$$ равен $$120^\circ$$, $$AC + AB = 18\text{ см}$$. Найдите $$AC$$ и $$AB$$.
2. В треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ углы $$A$$ и $$A_1$$ — прямые, $$BD$$ и $$B_1D_1$$ — биссектрисы. Докажите, что треугольник $$ABC$$ равен треугольнику $$A_1B_1C_1$$, если $$\angle B = \angle B_1$$ и $$BD = B_1D_1$$.

Так как $$\angle BAD=120^\circ,$$ то смежный с ним угол

$$\angle BAC=180^\circ-120^\circ=60^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ угол $$C=90^\circ,$$ значит

$$\angle B=180^\circ-90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике с углами $$30^\circ,\ 60^\circ,\ 90^\circ$$ катет, лежащий против угла $$30^\circ,$$ равен половине гипотенузы. Следовательно,

$$AC=\frac{AB}{2}.$$

По условию

$$AC+AB=18.$$

Подставим $$AC=\frac{AB}{2}:$$

$$\frac{AB}{2}+AB=18,$$

$$\frac{3}{2}AB=18,$$

$$AB=18\cdot \frac{2}{3}=12\text{ см}.$$

Тогда

$$AC=\frac{12}{2}=6\text{ см}.$$

Ответ: $$AC=6\text{ см},\ AB=12\text{ см}.$$