Упр.259 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Найдите углы равнобедренного прямоугольного треугольника.
- Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен $$120^\circ$$. Высота, проведённая к боковой стороне, равна $$9\ \text{см}$$. Найдите основание треугольника.
Обозначим вершины равнобедренного треугольника так, что $$AB=BC,$$ а основание — $$AC.$$ Тогда угол при вершине $$B$$ равен $$120^\circ.$$
Так как треугольник равнобедренный, то углы при основании равны:
$$\angle BAC=\angle BCA=\frac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ.$$
Проведём высоту $$AH\perp BC,$$ где $$AH=9\text{ см}.$$ Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABH.$$ В нём
$$\angle ABH=120^\circ-90^\circ=30^\circ,$$
значит, $$\angle BAH=60^\circ.$$ Тогда в прямоугольном треугольнике $$AHC$$ имеем
$$\angle HAC=\angle BAH+\angle BAC=60^\circ+30^\circ=90^\circ,$$
следовательно, треугольник $$AHC$$ прямоугольный, и его катеты связаны соотношением для треугольника с углами $$30^\circ,60^\circ,90^\circ.$$ Поэтому
$$AC=2\cdot AH=2\cdot 9=18\text{ см}.$$
Ответ: $$18\text{ см}.$$
