Упр.256 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите неравенство о длине ломаной: длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего её концы.
2. Один из углов прямоугольного треугольника равен $$60^\circ$$, а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна $$26{,}4\ \text{см}$$. Найдите гипотенузу треугольника.

Рассмотрим произвольную ломаную $$A_1A_2\dots A_n$$. Если заменить два её звена $$A_1A_2$$ и $$A_2A_3$$ одним звеном $$A_1A_3$$, то по неравенству треугольника

$$A_1A_3 \le A_1A_2 + A_2A_3.$$

Значит, при такой замене длина ломаной не увеличивается, а уменьшается или остаётся той же. Повторяя это действие, последовательно заменим все промежуточные звенья одним отрезком, соединяющим концы ломаной. Тогда получим, что длина отрезка $$A_1A_n$$ не больше длины исходной ломаной:

$$A_1A_n \le A_1A_2 + A_2A_3 + \dots + A_{n-1}A_n.$$

Следовательно, длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего её концы.