Упр.256 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим произвольную ломаную A_1 A_2…A_n,заменим звенья A_1 A_2 и A_2 A_3 звеном A_1 A_3,тогда верно неравенство A_1 A_3<=A_1 A_2+A_2 A_3,таким образом длина ломаной стала меньше,если продолжить выполнять это действие,то станет очевидно,что отрезок A_1 A_n меньше длины изначально заданной ломаной A_1 A_2…A_n; Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 26,4 см. Найдите гипотенузу треугольника.

Подробный ответ

Рассмотрим произвольную ломаную $$A_1A_2\dots A_n$$. Заменим два её звена $$A_1A_2$$ и $$A_2A_3$$ одним звеном $$A_1A_3$$. По неравенству треугольника

$$A_1A_3 \le A_1A_2 + A_2A_3.$$

Значит, при такой замене длина ломаной не увеличивается, а уменьшается или остаётся той же. Повторяя это действие, получаем отрезок $$A_1A_n$$, длина которого не больше длины исходной ломаной.

Следовательно, длина любой ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего её концы.

В прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $$60^\circ$$, значит второй острый угол равен

$$90^\circ — 60^\circ = 30^\circ.$$

В треугольнике с углами $$30^\circ$$, $$60^\circ$$ и $$90^\circ$$ меньший катет равен половине гипотенузы. Пусть гипотенуза равна $$AB$$, тогда меньший катет

$$AC=\frac{AB}{2}.$$

По условию

$$AB+AC=26{,}4,$$

то есть

$$AB+\frac{AB}{2}=26{,}4,$$

$$\frac{3}{2}AB=26{,}4,$$

$$AB=26{,}4:\frac{3}{2}=26{,}4\cdot\frac{2}{3}=17{,}6.$$