Упр.251 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: На рисунке 129 лучи ВО и СО — биссектрисы углов В и С треугольника ABC, ОЕ || АВ, OD || АС. Докажите, что периметр треугольника EDO равен длине отрезка ВС. Докажите, что каждая сторона треугольника больше разности двух других сторон. Решение Докажем, например, что в треугольнике ABC АВ > АС — ВС. Так как АВ + ВС > АС, то АВ > АС — ВС.

Подробный ответ

1) Докажем, что $$P_{EDO}=BC.$$

Так как $$OE \parallel AB,$$ а $$BO$$ — секущая, то $$\angle ABO=\angle BOE$$ как накрест лежащие. Кроме того, $$BO$$ — биссектриса угла $$B,$$ значит $$\angle ABO=\angle OBE.$$ Следовательно, $$\angle BOE=\angle OBE,$$ поэтому треугольник $$BOE$$ равнобедренный, и

$$BE=EO.$$

Аналогично, так как $$OD \parallel AC,$$ а $$CO$$ — секущая, то $$\angle DCO=\angle OCA$$ как накрест лежащие. Поскольку $$CO$$ — биссектриса угла $$C,$$ имеем $$\angle OCA=\angle DCO.$$ Значит, треугольник $$DOC$$ равнобедренный, и

$$OD=DC.$$

Тогда

$$P_{EDO}=ED+DO+OE=ED+DC+BE=ED+DC+EO.$$

Но на отрезке $$BC$$ точки $$B,E,D,C$$ лежат последовательно, поэтому

$$BC=BE+ED+DC.$$

С учётом $$BE=EO$$ получаем

$$BC=EO+ED+DC=P_{EDO}.$$

Следовательно, $$P_{EDO}=BC.$$

2) Докажем, что каждая сторона треугольника больше разности двух других сторон. Для треугольника $$ABC$$ по неравенству треугольника:

$$AB+BC>AC,$$

откуда

$$AB>AC-BC.$$