Упр.250 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Через точку пересечения биссектрис $$BB_1$$ и $$CC_1$$ треугольника $$ABC$$ проведена прямая, параллельная прямой $$BC$$ и пересекающая стороны $$AB$$ и $$AC$$ соответственно в точках $$M$$ и $$N$$. Докажите, что $$MN=BM+CN$$.
2. Найдите сторону равнобедренного треугольника, если две другие стороны равны: а) $$7\text{ см}$$ и $$3\text{ см}$$; б) $$8\text{ см}$$ и $$2\text{ см}$$; в) $$10\text{ см}$$ и $$5\text{ см}$$.

Пусть $$O$$ — точка пересечения биссектрис $$BB_1$$ и $$CC_1$$. Через точку $$O$$ проведена прямая $$MN$$, причём $$MN \parallel BC$$, $$M \in AB$$, $$N \in AC$$.

Рассмотрим треугольник $$CNO$$. Так как $$MN \parallel BC$$, то $$\angle NOC = \angle OCB$$ как накрест лежащие. Кроме того, $$CC_1$$ — биссектриса угла $$C$$, значит $$\angle NCO = \angle OCB$$. Следовательно, $$\angle NCO = \angle NOC$$, поэтому треугольник $$CNO$$ равнобедренный и

$$CN = NO.$$

Аналогично рассмотрим треугольник $$BOM$$. Из параллельности $$MN \parallel BC$$ получаем $$\angle MOB = \angle OBC$$ как накрест лежащие. Так как $$BB_1$$ — биссектриса угла $$B$$, то $$\angle MBO = \angle OBC$$. Значит, $$\angle MOB = \angle MBO$$, следовательно, треугольник $$BOM$$ равнобедренный и

$$BM = OM.$$

Тогда

$$MN = NO + OM = CN + BM.$$

Что и требовалось доказать.